Existence d’orbites périodiques spontanées pour les équations de Navier- Stokes, une preuve assistée par ordinateur

Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant l’existence et la description précise de solutions périodiques aux équations de Navier-Stokes avec un terme de force indépendant du temps, qui sont le fruit d’une collaboration avec Jan Bouwe van den Berg (VU Amsterdam), Jean-Philippe Lessard (McGill) et Lennaert van Veen (Ontario TU).
Ces résultats sont obtenus en combinant des estimations d’erreur a posteriori, l’arithmétique d’intervalles, et un théorème de point fixe appliqué à un opérateur de type quasi-Newton, ce qui permet de démontrer rigoureusement l’existence d’une solution dans un voisinage explicite d’une approximation calculée numériquement.
J’introduirai d’abord les idées principales et les techniques nécessaires à ce type d’approche sur un exemple simple, puis je discuterai de leur utilisation dans un cadre plus complexe comme les équation de Navier-Stokes.