Complexité algébrique de la multiplication dans les extensions de corps finis

Soit $K$ un corps commutatif et  $L/K$  une extension finie de degré $n$.
La multiplication $\times : L\times L\rightarrow L$ est une application  $K$-bilinéaire symétrique. Dans le cas où $K$ est un corps fini de cardinal $q$, l'étude du tenseur correspondant est motivée par des considérations algorithmiques : on souhaite connaître la complexité (en un sens à préciser) du calcul du produit de deux éléments dans $L$ donnés par leurs coordonnées dans une base sur $K$. D.V. et  G.V. Chudnovsky ont montré comment majorer le rang $\mu_q(n)$  du tenseur de multiplication. C'est le plus petit entier $r$  tel que ce tenseur soit somme de $r$ tenseurs dits  élémentaires (ou purs). La méthode de  Chudnovsky repose sur l'existence de courbes algébriques sur $K$ ayant beaucoup de points rationnels (par rapport à leur genre). Tsfasman, Vladut, Shparlinski, Ballet, Rolland et d'autres ont obtenu des majorations de plus en plus fines de $\mu_q(n)$ à l'aide de telles familles de courbes.
Le théorème de Riemann-Roch joue un rôle central dans cette construction. Après avoir rappelé le principe de cette construction j'introduirai un nouvel invariant $\nu_q(n)$ appelé complexité équivariante de la multiplication dans $L/K$. C'est le plus petit entier $s$  tel que le tenseur de multiplication soit somme de $s$ tenseurs Galois équivariants élémentaires.
Cet invariant prend  en compte l'action du groupe de Galois. Je montrerai en quoi il apporte une information réaliste sur la difficulté algorithmique de multiplier deux éléments de $L$ donnés par leurs coordonnées dans une $K$-base normale. Après avoir rappelé les propriétés élémentaires de  la complexité équivariante des tenseurs, je montrerai quelles constructions
géométriques permettent de majorer $\nu_q(n)$.

Travail en commun  avec Tony Ezome.