Analogues du théorème de Morozov et semi-stabilité des groupes réductifs en caractéristique positive

L'obtention de quotients est une question naturelle mais relativement difficile en géométrie algébrique. La semi-stabilité est une notion essentielle dans la définition de tels objets. Soient $k$ un corps et $X$ une courbe définie au-dessus de $k$. Soit encore $G$ un $X$-groupe réductif obtenu à partir d'un $k$-groupe réductif par changement de base. Une notion de semi-stabilité pour les $G$-torseurs peut s'obtenir de plusieurs manières. Dans cet exposé, je commencerai par présenter les approches d'Atiyah-Bottet de Behrend à ce sujet, avant d'expliquer pourquoi la première approche, initialement valide seulement en caractéristique nulle, s'étend à certaines caractéristiques $p>0$. Ces deux approches associent un sous-groupe parabolique (dit canonique) au groupe $G$ tordu par le $G$-torseur considéré. Lorsque ces deux constructions coexistent (ce qui dépend d'hypothèses sur $k$) elles définissent la même notion. Je présenterai ensuite un énoncé d'un analogue en caractéristique $p>0$ d'un théorème de Morozov. Ce dernier classifie les sous-algèbres de Lie paraboliques de l'algèbre de Lie d'un groupe réductif à l'aide de leur nilradical. Il permet dans ce contexte de décrire le sous-groupe parabolique canonique comme le sous-groupe parabolique d'instabilité d'une sous-algèbre nilpotente bien spécifique de l'algèbre de Lie du groupe tordu. Je reviendrai en particulier sur les problèmes spécifiques de la caractéristique positive soulevés par la preuve de ce résultat. Ces derniers sont de nature géométrique et algébrique.