Géométrie et algèbre effectives

La théorie de Kummer classique décrit les extensions d’un corps de nombres engendrées par une racine n-ième de l’unité et une racine n-ième d’un élément α ∈ K× qui n’est pas une racine de l’unité. Pour tout n ≥ 2, le groupe Gn = Gal (K(ζ_n, \sqrt[n]{α})/K(ζ_n)) s’identifie de facon naturelle à un sous-groupe de Z/nZ et un théorème classique montre que – pour un α fixé – l’indice (Z/nZ : Gn) est borné uniformément lorsque n varie. De facon équivalente, il existe une constante d(α) > 0 telle que pour tout n ≥ 2 on ait l’inégalité [K(ζn,\sqrt[n]{α})/K(ζn)] ≥ d(α)n. Une généralisation naturelle de cette situation s’obtient en considérant un groupe algébrique commutatif A défini sur K, un point rationnel α ∈ A(K) d’ordre infini, et l’extension relative [K(A[n],α/n) : K(A[n])], le cas classique correspondant à A = Gm. Je vais discuter le cas où A est une courbe elliptique E et je vais montrer que, si E est définie sur Q (et sous une hypothèse minimale sur α), le degré [Q(E[n],α/n) : Q(E[n])] est ≥ cn^2, où c est une constante absolue, indépendante de E et de α. Il s’agit d’un travail en commun avec Sebastiano Tronto (Université du Luxembourg).

Dans cet exposé nous décrivons un algorithme de calcul d'isogénies entre variétés abéliennes dans le système de coordonnées donné par les fonctions thêta en temps quasi-linéaire en la taille du noyau de l'isogénie. Cet algorithme très général améliore les bornes de complexité connues parfois de manière spectaculaire : ainsi, dans le cas des isogénies cycliques, on passe d'une complexité polynomiale à quasi-linéaire.