Une petite histoire de mesures, de courants et de dynamique complexe

L'exposé sera une petite introduction à la dynamique complexe moderne qui passe par la théorie ergodique et la notion de courants sur les variétés complexes. Pendant l'exposé je présenterai comment on peut construire certaines mesures de probabilités invariantes associées à une transformation $f$ holomorphe sur une variété complexe compacte $X$ qui encodent la dynamique de la transformation. Je me pencherai notamment sur une mesure en particulier, que l'on appelle la mesure d'équilibre, et qui est au centre de la recherche active dans la communauté des dynamiciens complexes. Pour le cas $X=\mathbb{CP}^k$ de l'espace projectif complexe, cette mesure d'équilibre peut être reconstruite à partir d'un courant T sur la variété que l'on appelle le courant de Green de la transformation $f$. Je terminerai la présentation en présentant un résultat en dimension complexe $2$, sur $X=\mathbb{CP}^2$, qui est le cadre de ma thèse.

Pour plus de précision : grosso modo un courant $T$ sur une variété complexe est simplement une forme linéaire sur l'espace des formes différentielles lisses à support compact. C'est l'adaptation des distributions sur $\mathbb{R}^n$ aux variétés différentielles.
En peu de mots l'intérêt des courants est qu'ils encodent d'une certaine façon de l'information géométrique. Par exemple si $T$ est un courant positif fermé défini sur $X\setminus A$, avec $A$ un ensemble analytique et $X$ une variété complexe, alors on peut prolonger $T$ sur $X$ en un courant positif fermé sur $X$ si la codimension de $A$ est suffisamment grande.