Action de groupes nilpotents sur l'espace affine complexe

Le but de l'exposé est de présenter le résultat suivant : si un groupe $H$ nilpotent de type fini agit fidèlement par automorphismes polynomiaux sur $\mathbb{C}^d$ alors $d$ est supérieur ou égal à l'indice de résolubilité virtuel de $H$.

Le résultat est en fait vrai pour toute variété quasi-projective mais le cas de $\mathbb{C}^d$ suffit à comprendre les différentes étapes de la preuve. Au delà du résultat c'est surtout la méthode utilisée qui est intéressante, l'idée est de changer l'espace de base pour passer à l'espace des nombre $p$-adiques $\mathbb{Z}_p$ sur lequel on peut faire de l'analyse comme sur $\mathbb{R}$ à ceci près que les fonctions analytiques que l'on va considérer vont vérifier des propriétés dont on n'a pas d'équivalents sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On peut par exemple avec ce genre de procédé démontrer assez facilement une version algébrique du théorème de Skolem-Mahler-Lech sur les suites récurrentes linéaires.