Théorie classique des invariants des formes binaires

On va s'intéresser à la théorie classique des invariants de formes binaires, à la manière de Hilbert et Gordan dans la seconde moitié du XIXème siècle.

Plus concrètement, on regarde les fonctions polynomiales homogènes à deux variables et à coefficients dans un corps $K$ algébriquement clos (penser au corps des complexes) $$f(x,z) = a_0x^n + a_1x^{n-1}z + \cdots + a_nz^n$$ (où $n$ est fixé). On peut faire agir $SL2(K)$ sur ces formes binaires, via l'action linéaire sur le vecteur $(x,z)$. On s'intéresse alors aux fonctions polynomiales en les coefficients $a_0,\dots,a_n$ invariantes sous l'action de $SL2(K)$. On les appelle invariants des formes binaires de degré $n$.

Durant l'exposé, on va s'intéresser à l'anneau des invariants,
à ses propriétés. On déterminera des générateurs de cet anneau pour des petites valeurs de $n$. Pour finir, on s'intéressera au lien avec les courbes hyperelliptiques.