Théorie des fluctuations pour les champs de Lévy additifs spectralement positifs

Dans cet exposé, nous souhaitons développer la théorie des fluctuations des cLasp pour l'étude des processus de branchement multitypes continus.

Les processus de branchement peuvent servir à modéliser une évolution de population. Ils ont été introduits dans le cas discret, dans les années 1870 par Bienaymé, Galton et Watson. Dans les années 1960, la notion a été étendue en temps et espace continus par J.Lamperti. Il a également montré qu'à un processus de branchement continu, nous pouvions associer un processus de Lévy spectralement positif. Et réciproquement. Parmi les différentes applications, nous citerons le lien entre les temps d'atteintes du PLsp et l'effectif totale de a population ainsi qu'une condition d'extinction, la condition de Grey.

L'un des objectifs de cet exposé, est l'étude des processus de branchement multitypes continus (PBCM) via la représentation de Lamperti multitypes. A un PBCM, nous pouvons associer un cLasp que l'on peut aussi voire comme une matrice de processus de Lévy. Il reste alors à définir une notion de temps d'atteinte pour ces champs de Lévy.

Après quelques rappels sur les résultats utilisés en dimension, nous verrons comment étendre la notion de temps d'atteinte aux champs et évoquerons une application quant à l'étude des PBCM.