Sur les séries génératrices des marches dans le quart de plan

L'étude des marches dans le plan a connu des développements récents passionnants. C'est à la nature des séries génératrices des marches dans un quart de plan que sera consacré cet exposé. Nous nous intéresserons aux questions suivantes : ces séries génératrices sont-elles rationnelles ? algébriques ? vérifient-elles des équations différentielles linéaires ? non linéaires ? Nous commencerons par rappeler ce qu'il en est de la nature des séries génératrices des marches dans le plan tout entier ou dans un demi-plan. Nous passerons ensuite au cas du quart de plan. L'étude de ce cas a été entreprise dans un article majeur de Bousquet-Mélou et Mishna. Nous présenterons la teneur de cet article et passerons en revue un certain nombre de travaux récents l'ayant suivi. A l'issue de ces beaux travaux, la question suivante restait largement ouverte : quelles marches dans le quart de plan possèdent une série génératrice vérifiant une équation différentielle non linéaire? Nous avons apporté une réponse à cette question dans un article en collaboration avec Dreyfus, Hardouin et Singer. C'est à ce travail que sera consacré la suite de cet exposé. Il met en jeu des courbes elliptiques, des équations aux différences et la théorie de Galois différentielle.