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Mercredi 31 Août, Soutenance de thèse de Arnaud Girand.
Equations d'isomonodromie, solutions algèbriques et dynamique

Jeudi 22 Septembre, Axel Rogue
Exposants de Lyapunov : Qui sont-ils ? À quoi servent-ils ?

Les exposants de Lyapunov, qui apparaissent en 1892 dans la thèse de Alexandre Lyapunov, sont un outil pour caractériser la stabilité des systèmes dynamiques. Dans le cas de la dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle $f$ de $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. L'idée fondamentale est d'utiliser une mesure $f$-invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne lorsque le cas par cas est trop difficile à appréhender. Cela permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite $D_{x} f^n$.
Le but de l'exposé sera de présenter quelques endroits naturels où ces fameux exposants de Lyapunov apparaissent ainsi que les premiers résultats de la théorie ergodique et leur application à la dynamique holomorphe.

Jeudi 29 Septembre, Adrien Boulanger (Jussieu)
Un critère ergodique qui caractérise les dynamiques suspendues.

Un champs de vecteur sur une variété de dimension 3 compacte définit un système dynamique par intégration. Une famille d'exemples de tel système dynamique sont les dynamiques suspendues, c'est-à-dire dont l'étude se ramène à une dynamique plus simple : celle d'un difféomorphisme sur une surface. D'un autre côté la théorie ergodique est un outil puissant pour l'étude des systèmes dynamiques. Une question se pose alors naturellement : Existe t-il un critère ergodique qui caractérise les systèmes dynamiques suspendues ? Afin d'introduire les définitions je commencerai l'exposé par l'étude d'un sytème dynamique explicite : le flot géodésique sur le tore de dimension deux. La suite de l'exposé sera consacrée à une introduction sommaire à la théorie ergodique et à la notion clé de cycles asymptotiques. J'énoncerai pour finir le théorème qui répond à la question et en donnerai les idées de preuve, si le temps (et votre patience :-) ) me le permet.

Jeudi 6 Octobre, Camille Francini
Quelques liens entre la moyennabilité et la propriété de trou spectral, le cas du Tore.

Le but de cet exposé sera à partir d'une action d'un groupe $G$ sur un ensemble mesurable $(X,m)$ qui préserve la mesure montrer qu'il existe de forts liens entre le fait que le groupe $G$ soit moyennable et le fait que l'action ait la propriété de trou spectral. Pour cela on commencera par redéfinir ce qu'est la propriété de trou spectral à partir des représentations de groupes notamment la représentation de Koopman qui est associée à l'action de $G$ sur $(X,m)$. On redéfinira ensuite la propriété de moyennabilité d'un groupe et on verra un premier résultat qui nous dit que si l'image de $G$ dans $Aut(X)$ est moyennable alors l'action de $G$ sur $(X,m)$ a la propriété de trou spectral. Ainsi ce qui nous intéressera sera de savoir si il existe des cas où la réciproque se vérifie nous verrons alors (si le temps le permet...) que le cas de l'action des automorphismes du Tore sur le Tore ainsi que le cas des Solénoïdes a-adiques vérifient bien la réciproque de ce résultat.

Jeudi 13 Octobre, Yvan Ziegler
Comment compter efficacement le nombre de points d'une courbe sur un corps fini à partir des conjectures de Weil ?

Il n'est pas difficile d'écrire un algorithme qui compte les points d'une courbe sur un corps fini. Il est toutefois beaucoup plus difficile d'en écrire un qui soit vraiment efficace. Le coeur de mon exposé sera constitué des conjectures de Weil et du théorème de point fixe de Lefschetz-Grothendieck. Ces théorèmes vont se révéler être des outils très utiles pour obtenir de tels algorithmes, notamment l'algorithme de Kedlaya dont j'expliquerais le fonctionnement. Ceci nous amènera jusqu'à manipuler des espaces de cohomologies p-adiques, qui ont une place très importante dans cet algorithme. Par ailleurs, compter efficacement le nombre de points d'une courbe elliptique ou hyperelliptique a des applications en cryptographie. Si le temps me le permet j'en donnerais un rapide aperçu ainsi que du cadre cryptographique dans lequel c'est utilisé.

Jeudi 20 Octobre, Simon André
hyperboliques et logique du premier ordre.

La théorie du premier ordre d'un groupe $G$ est l'ensemble des phrases du langage de la théorie des groupes vraies dans $G$. On note cet ensemble $\mathrm{Th}(G)$, et l'on dit que deux groupes $G$ et $G'$ sont élémentairement équivalents si $\mathrm{Th}(G)=\mathrm{Th}(G')$. Dans les années 40, Alfred Tarski pose la question suivante, connue sous le nom de problème de Tarski : les groupes libres non cycliques sont-ils élémentairement équivalents? En 2006, Z. Sela, et indépendamment O. Kharlampovich et A. Myasnikov, apportent une réponse affirmative à cette question. Sela adapte ensuite son travail à tous les groupes hyperboliques sans torsion (dont les groupes libres sont des cas particuliers). Dans cet exposé, on s'intéressera à une conséquence frappante de la théorie développée par Sela : l'hyperbolicité d'un groupe est préservée par équivalence élémentaire.

Jeudi 10 Novembre, Nguyen Thi Dang
Actions affines propres en dimension trois d'après Goldman-Labourie-Margulis.

Les actions affines propres et cocompactes apparaissent naturellement lorsqu'on regarde un pavage régulier. Il suffit de se convaincre que chaque pavé n'est autre qu'un domaine de fondamental pour le groupe de symétrie du pavage : un sous-groupe discret du sous-groupe affine de $\mathbb{R}^2$. Maintenant, on se donne un sous-groupe discret $\Gamma$ du groupe des transformations affines d'un espace euclidien $E$ et on cherche sous quelles conditions on a une action proprement discontinue (cocompacte, libre et whatnot). Depuis 1910, par les théorèmes de Bieberbach, on sait que derrière les cristaux (de chimie par exemple) se cachent des groupes discrets virtuellement abélien. Depuis 1964, une conjecture d'Auslander affirme que seuls les sous-groupes virtuellement résolubles du groupe affine agissent proprement discontinuement et cocompactement. En 1977, Milnor se demande si la conjecture d'Auslander reste vraie si on enlève la cocompacité. Le valeureux Margulis construit en 1983 des exemples de sous-groupe libres agissant proprement sur l'espace affine de dimension 3. Les espaces homogènes associés sont les espace-temps de Margulis. Ces espace-temps se situent à la croisée des mondes hyperboliques, affines et lorentziens puique la partie linéaire des sous-groupes discrets associés sont dans $\mathrm{SO}^°(2,1)$ : les sous-groupes libres agissant proprement sur $\mathbb{R}^3$ sont des déformations affines de sous-groupes de Schottky. Je présenterai dans mon exposé un critère dû à Goldman, Labourie et Margulis de propreté des déformations affines de Schottky en commençant par faire du ping-pong, puis présenter l'espace des déformations affines d'un groupe de Schottky. Ensuite, j'invoquerai un invariant de Margulis et donnerai ses propriétés ainsi que le critère proprement dit. Enfin (si on a le temps) je donnerai les outils pour un second critère plus technique en vue d'une ébauche de preuve

Jeudi 24 Novembre, Maria Cumplido Cabello
Deux algorithmes pour standardiser une courbe dans $D_n$.

Une tresse avec $n$ brins induit un automorphisme du disque avec $n$ trous, $D_n$, qui fixe $\partial D_n$. Donc, le groupe des tresses avec $n$ brins, $B_n$, peut s'identifier avec le mapping class group de $D_n$. On va s’intéresser à l'action des tresses sur les classes d'isotopie de courbes fermées, simples, non dégénérées dans $D_n$. En particulier, on va étudier l'ensemble de tresses positives qui transforment un système de courbes $S$ dans un système de courbes standard (où chaque courbe est isotope à un cercle). Cet ensemble est dénoté $St(S)$ et ses éléments s’appellent standardisateurs de $S$. En 2008, Lee et Lee ont prouvé l'existence d'un unique standardisateur minimal. Notre objectif est de construire un algorithme simple pour le calculer. Après on va généraliser ce problème algébriquement à sous-groupes paraboliques de groupes de Artin-Tits de type sphérique. On va expliquer comment construire un algorithme pour calculer la standardisateur minimal d'un tel sous-groupe. L'ingrédient principal de cet algorithme sera le calcul de la forme normale de Garside et alors la complexité de notre algorithme sera polynomiale.

Jeudi 1er Décembre, Cheikh Lo (Dakar)
Bouts d'une surface hyperbolique géométriquement infinie.

Contrairement aux surfaces hyperboliques topologiquement finies où la finitude géométrique impose la présence au plus de deux types de bouts (cusp et entonnoir) les surfaces hyperboliques infinies admettent différentes types de bouts. Dans cet exposé nous présentons une étude topologique et géométrique des bouts d'une surface hyperbolique géométriquement infinie, en particulier nous étudierons la relation entre le cœur convexe et l'espace des bouts d'une telle surface.

Jeudi 8 Décembre, Andrès Sarrazola-Alzate
Le théorème d'équivalence de Kashiwara.

Jeudi 8 Décembre, Soutenance de thèse de Margot Bouette.
Sur la croissance des automorphismes des groupes de Baumslag-Solitar

Mardi 13 Décembre - 11h, Soutenance de thèse de Damien Davy.
Spécialisation du pseudo-groupe de Malgrange et irrécuteductibilité.

Jeudi 15 Décembre, José Andrès Rodriguez Migueles
Décomposition fine-épaisse des variétés hyperboliques.

La première partie de cet exposé consistera à montrer que toute composante connexe de la partie fine d'une n-variété hyperbolique complète est isométrique au voisinage d’une géodésique courte ou homéomorphe au produit d’une variété euclidienne par une demi-droite. Il est important de souligner que c'est une conséquence du Lemme de Margulis qui dit que le sous-groupe du groupe fondamental engendré par les lacets courts est virtuellement nilpotent.

La deuxième partie est consacrée à la decomposition des variétés fermées de dimension 3.

Vendredi 16 Décembre - 9h15, Soutenance de thèse de Loubna Ghammam.
Utilisation des couplages en cryptographie asymétrique pour la micro-électronique.

Jeudi 12 Janvier, Julien Dhondt
Variation de l'anneau de base dans la recherche des solutions d'un système d'équations polynomiales et foncteur des points d'un schéma affine.

Jeudi 26 Janvier, Olivier Thom
À propos de stabilité.

Si vous regardez vos empreintes digitales, vous pouvez observer localement 4 figures de base : des droites parallèles, des cercles concentriques, des courbes qui s'enroulent autour d'une demi-droite, et la dernière figure consiste en 3 demi-droites partant d'un même point.
Et c'est tout ! Pourquoi ne voit-on pas plus de figures, comme par exemple deux droites qui se croisent ? c'est pour répondre à ce genre de questions qu'a été introduite la notion de stabilité que je vais vous présenter.

Jeudi 2 Février, Jesus David Pineda Escobar
Le problème de réalisation de Nielsen.

Jeudi 9 Février, Federico Lo Bianco
Dynamique discrète sur les variétés projectives complexes.

La dynamique discrète revient à étudier les itérations d'une application continue (ou avec un plus grand degré de régularité) $f$ d'un espace topologique $X$ vers lui-même. Lorsque $X$ est une variété projective complexe et $f$ est holomorphe, un théorème surprenant de Yomdin et Gromov donne un lien entre l'entropie topologique de $f$ (un nombre réel qui mesure le chaos crée par $f$, et qui dans le cas général est très compliqué à calculer) et l'action de $f$ sur la cohomologie de $X$. Dans cet exposé je vais définir en détail l'entropie topologique, donner l'énoncé et la philosophie derrière le théorème, et voir quelques exemples. Le temps permettant, on parlera également d'autres propriétés dynamiques gouvernées par l'action en cohomologie, notamment dans le cas des surfaces complexes.

Jeudi 16 Février, Adjaratou Arame Diaw
Le théorème d'annulation de Serre des faisceaux cohérents sur les variétés projectives.

La théorie des faisceaux intervient dans de nombreux problèmes mathématiques où l'on cherche à passer d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux. Cependant, la commodité d'utilisation de la cohomologie dépend en grande partie de la faculté de montrer que certains groupes de cohomologie sont triviaux. En ce sens, l'objet de mon exposé consiste à la démonstration du théoréme d'annulation et de finitude en cohomologies des faisceaux cohérents sur les variétes projectives.

Jeudi 2 Mars, Vincent Mineo-Kleiner
Vers les cohomologies $p$-adiques.

Nous racontons comment la nécessité d'un petit camarade cristallin est apparu en cohomologie arithmétique. Après la définition des fonctions Zêtas locales et l'hypothèse de Riemann sur les corps finis qui en découle, c'est A. Weil qui, en 1949, précise ces énoncés en suggérant qu'il devrait exister des traces de théorie cohomologique pour les variétés sur les corps finis. C'est le début des cohomologies arithmétiques, avec en un premier temps, la cohomologie étale de A. Grothendieck, puis la cohomologie de Monsky et Washnitzer.

Jeudi 9 Mars, Alexandre Bellis
Histoire de la géométrie hyperbolique.

Nous parlerons dans cet exposé d'histoire des mathématiques, et plus particulièrement d'histoire de la géométrie. J'essaierai de mettre en lumière les acteurs principaux ayant amené à la découverte des géométries non euclidienne, et plus généralement les étapes de pensée qu'il aura fallu que l'homme franchisse pour pouvoir les accepter. Notre histoire démarrera en Egypte environ 4000 ans en arrière, passera chez les grecs avec Euclide ou Proclus et arrivera jusqu'au 19ème siècle avec Bolyai, Lobatchevsky, Gauss, Poincaré et finalement Riemann.

Jeudi 16 Mars, Cyril Lacoste
Trouver les formes réelles ou rationnelles d'un groupe de Lie : un mélange de cohomologie, théorie de Galois, automorphismes et algèbres à division.

Si $G_{\mathbb{C}}$ est un groupe de Lie linéaire complexe semisimple défini sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{Q}$), on veut chercher ses formes réelles (ou rationnelles), c'est-à-dire les groupes dont la complexification vaut $G$. Les formes rationnelles sont notamment utiles pour classifier les réseaux arithmétiques. Pour complexifier un groupe réel, dans notre cas un groupe de matrices algébrique défini par des équations polynomiales, il suffit de chercher les matrices complexes qui vérifient les mêmes équations. Ainsi il n'est pas étonnant que le complexifié de $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ soit $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$, mais nous verrons que ce n'est pas la seule forme réelle de $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ ! Pour les trouver toutes, on établira une correspondance entre les formes réelles de $G_{\mathbb{C}}$ et les 1-cocycles du groupe de Galois $Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ vers les automorphismes de $G_{\mathbb{C}}$.

Jeudi 23 Mars, Jie Liu
Introduction au programme du modèle minimal : le cas des surfaces.

La classification des variétés algébriques a été une des questions principales en géométrie algébrique. Le programme du modèle minimal (MMP en anglais) consiste à trouver un représentant "canonique" dans chaque classe birationelle des variétés algébriques. Son but initial était de généraliser en toute dimension la classification des surfaces algébriques obtenue par l'école italienne. Dans cet exposé je vais expliquer la classification birationelle des variétés algébriques, donner l'énoncé principal dans le cas des surfaces et voir quelques exemples. Si le temps le permet, je parlerai de sa généralisation en dimension supérieure.

Jeudi 6 Avril, Pierre Perruchaud
Diffusions à valeurs dans les variétés.

Ami probabiliste, ton travail concerne peut-être les diffusions ; en tout cas, tu les as déjà croisées. Mais tu as peur de venir au séminaire Pampers, parce que tu ne sais pas ce qu'est une variété. Détrompe-toi ! C'est l'occasion de venir découvrir les variétés, les revêtements universels et les groupes de Lie expliqués par un probabiliste. Ami géomètre, ton travail concerne peut-être les variétés ; en tout cas, tu les as déjà croisées. Mais tu as peur de venir au séminaire Gaussbusters , parce que tu ne sais pas ce qu'est une diffusion. Détrompe-toi ! C'est l'occasion de venir découvrir le mouvement brownien, les générateurs infinitésimaux et l'équation de la chaleur expliqués par un géomètre. Cet exposé se veut accessible au plus grand nombre. Je commencerai par définir le mouvement brownien et les variétés, puis de fil en aiguille, on sera amené à discuter d'équations différentielles stochastiques, de courbure, de récurrence, de géométrie hyperbolique... Le tout dans des termes élémentaires — donc, j'en ai bien peur, hautement non rigoureux.

Jeudi 27 Avril, Youenn Bidel
Le théorème de Schmüdgen.

Le Positivstellensatz classique permet d'écrire des certificats de positivité de polynômes "avec dénominateur", c'est-à-dire, étant donné un polynôme $f$, des écritures de la forme : $pf=1+q$ où $p$ et $q$ sont des sommes de carrés de polynômes. Le Positivstellensatz de Schmüdgen permet de s'affranchir du dénominateur $p$. Dans cet exposé je présenterai ces deux résultats et une trame de la preuve du théorème de Schmüdgen.

Jeudi 4 Mai, Antonin Riffaut (Bordeaux)
Théorie de la multiplication complexe.

La théorie de la multiplication complexe est plus... complexe que son nom ne le laisse suggérer ! Il ne s'agit pas d'une leçon de terminale sur la multiplication des nombres complexes, mais d'un véritable pan de la théorie des nombres, dont l'objet d'étude est le suivant. Soit $L$ un réseau du plan complexe $\mathbb{C}$. À homothétie près, on peut supposer que $L$ est engendré par $1$ et un nombre complexe $\tau$ du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$. On dit que $L$ a de la multiplication complexe si l'ensemble $\mathrm{End}(L)=\{\alpha\in\mathbb{C}\,;\,\alpha L\subset L\}$, appelé anneau d'endomorphismes de $L$, est strictement plus gros que $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire contient un nombre complexe non réel. Il se trouve que $L$ a de la multiplication complexe si et seulement si $\tau$ est quadratique sur $\mathbb{Q}$. Dans ce cas, $\mathrm{End}(L)$ est un ordre quadratique, et le $j$-invariant $j(\tau)$ de $L$ est un nombre algébrique dont le degré égale le nombre de classes de l'ordre quadratique $\mathrm{End}(L)$. Il s'agit du théorème principal de la théorie de la multiplication complexe. L'objectif de mon exposé sera d'introduire de manière un peu plus détaillée cette théorie ainsi que les différentes notions sur lesquelles elle s'appuie (ordre quadratique, nombre de classes, $j$-invariant, ...). S'il reste du temps, je parlerai succinctement de la conjecture de André-Oort, et plus particulièrement d'un cas particulier, le théorème de André, à l'origine des travaux de recherche que j'effectue dans le cadre de mon doctorat.

Jeudi 11 Mai, Salim Rostam (Versailles)
Graduation sur l'algèbre de Hecke de $G(r,p,n)$.

L'algèbre de Hecke $H$ du groupe de réflexion complexe $G(r,1,n)$, aussi appelée algèbre d'Ariki–Koike, est une déformation de l'algèbre de groupe du produit en couronne $\left(\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\right) \wr \mathfrak{S}_n$ ; on peut en donner une présentation en terme de générateurs et de relations. Lorsqu'elle est définie sur un corps, l'algèbre $H$ est isomorphe à une algèbre de Hecke carquois de type A, aussi appelée algèbre de Khovanov-Lauda-Rouquier, et hérite de la graduation de cette dernière. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la sous-algèbre $H^{\sigma}$ de $H$, qui est l'algèbre du groupe de réflexion complexe $G(r,p,n)$, dont on peut également donner une présentation sous forme de générateurs et relations : c'est la sous-algèbre de $H$ fixée par un certain automorphisme $\sigma$. En utilisant cet automorphisme, nous donnerons une graduation sur $H^{\sigma}$, qui fera de cette algèbre une sous-algèbre graduée de $H$. Enfin, si le temps le permet, nous aborderons l'aspect cellulaire de ces algèbres : l'algèbre $H$ possède une base cellulaire graduée, et nous nous pencherons sur l'existence d'une telle base pour $H^{\sigma}$.

Jeudi 18 Mai, Tom Dutilleul (Universit&eacute Paris 13)
Dynamique des espaces-temps spatialement homogènes

En Relativité Générale, un espace-temps est une variété lorentzienne $(M,g)$ de dimension $4$ vérifiant l'équation d'Einstein. En l'absence de champ non-gravitationnel, celle-ci s'écrit $\mathrm{Ric}_g=0$. Informellement, les $\textit{espaces-temps spatialement homogènes}$ sont ceux pour lesquels « la géométrie change avec le temps, mais pas quand on se déplace d'un point à un autre de l'espace ». Tout espace-temps spatialement homogène peut être vu comme l'orbite d'un champ de vecteurs (appelé $\textit{champ de Wainwright-Hsu}$) sur une sous-variété (appelée $\textit{espace des phases}$) de $\mathbb{R}^6$ de dimension $4$. L'espace des phases se stratifie en six ensembles invariants par le flot. La strate de plus petite dimension est un cercle constitué uniquement de points critiques et est appelé $\textit{cercle de Kasner}$. Ensuite vient la strate de dimension $2$, constituée de six demi-ellipsoïdes s'appuyant sur le cercle de Kasner. La dynamique des orbites se situant dans l'un de ces demi-ellipsoïdes est entièrement codée par une application du cercle de Kasner dans lui même, appelée $\textit{application de Kasner}$ et semi-conjuguée à la transformation de Gauss sur les fractions continues. La conjecture BKL dit que la dynamique des orbites génériques (celles se situant dans les strates de dimension $4$) devrait être calquée sur la dynamique discrète de l'application de Kasner. Nous construisons, pour presque tout point du cercle de Kasner, une variété lipschitzienne de dimension $3$ injectivement immergée dans l'espace des phases constituée uniquement de points « pistant » la dynamique de l'application de Kasner.

Mercredi 24 Mai, Mattia Galeotti (Jussieu)
Les courbes avec un fibré racine et leurs automorphismes fantômes

L'espace de modules $\mathcal M_g$ des courbes lisses de genre $g$, et sa compactification $\overline{\mathcal M}_g$, l'espace de modules des courbes stables, sont parmi les objets les plus étudiés en géométrie algébrique. Cependant, l'étude de la géometrié birationelle de ces espaces n'est pas complet. Une ligne d'attaque recemment developpée à l'égard de ce problème est l'étude des espaces de modules $\overline{\mathcal R}_{g,\ell}^k$ de courbes équipées d'un fibré en droites $L$ qui est racine d'une puissance fixée du fibré canonique, c'est-à-dire tel que $L^{\ell}\cong\omega^k$. Cette approche pose deux problèmes. Le premier est celui d'étendre la notion de racine de $\omega^k$ aux courbes nodales, pour cela on introduit une structure de stack de Deligne-Mumford à stabilisateur non-trivial sur les nodes. Le deuxième est que, grace à la structure stack, pour chaque courbe il y a maintenant des nouveaux automorphismes dits "fantômes", et donc une nouvelle analyse des singularités de l'espace de modules est nécessaire. Nous pouvons décrire les automorphismes fantômes en utilisant des outils de la théorie des graphes, et nous pouvons ainsi classifier toutes les singularités de $\overline{\mathcal R}_{g,\ell}^k$.

Fundamental groups in arithmetic and geometry.

Jeudi 8 Juin, José Andrès Rodriguez Migueles
Volume des variétés hyperboliques.

Le volume d'une variété hyperbolique est un invariant topologique, grâce au théorème de rigidité de Mostow. D'une part on expliquera, pour les cas dont la dimensión est $n=2$ ou $n \geqslant 4$, que le nombre de variétés hyperboliques qui ont volume borné par une constante fixée est fini. D'autre part, dans le cas de la dimensión $n=3$, on peut trouver des points limites dans l'image de la fonction volume, comme conséquence du théorème du remplissage de Dehn. Pour illustrer le cas de la dimensión 3 on travaillera avec des extérieurs d’entrelacs dans la 3-sphére, et nous raconterons comment estimer son volume à partir de la combinatoire de son diagramme d'entrelacs.

Mardi 13 Juin, Soutenance de th&egravese de Basile Pillet.
Géométrie complexe globale et infinitésimale de l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne.

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Année 2015 - 2016

Jeudi 17 Septembre, Arnaud Girand
Dis, comment on calcule (vraiment) un groupe fondamental ?

Le groupe fondamental, à l'instar de la clé à molette et du café soluble, a su se faire une place dans la trousse de premiers secours de tout algébriste ou topologue qui se respecte. Cet exposé se propose d'établir un dictionnaire (non exhaustif) entre diverses méthodes géométriques de calcul (effectif) de ce groupe et quelques opérations classiques de la théorie de groupes telles que les produits amalgamé ou semi-direct.

Jeudi 24 Septembre, Olivier Thom
Classification locale de bifeuilletages holomorphes sur les surfaces complexes.

Jeudi 1 Octobre, Federico Lo Bianco
Diviseurs, classes de Chern et produit d'intersection.

Un résultat classique de Bézout affirme que, si $C$ et $D$ sont deux courbes dans $\mathbb P^2 \mathbb C$, alors le nombre de points d'intersection entre $C$ et $D$ (comptés avec multiplicités) ne dépend que des degrés des équations définissant $C$ et $D$. En gardant cet exemple en tête, on peut développer une théorie de l'intersection entre courbes sur surfaces complexes ou, plus généralement, entre diviseurs sur variétés complexes de dimension arbitraire. Dans cet exposé je vais expliquer les bases de la théorie de l'intersection sur variétés complexes projectives, en particulier une dualité qui fait correspondre à un produit de diviseurs un produit extérieur de formes différentielles..

Jeudi 8 Octobre, Cyril Lacoste
Dimension cohomologique et dimension géométrique

Lundi 12 Octobre, Basile Pillet
La transformée de Penrose.

Jeudi 22 Octobre, María Cumplido Cabello
Algorithmes dans les groupes de tresses.

Vendredi 23 Octobre, Soutenance de thèse: Charles Savel.
Sur la dimension de certaines variétés de Kisin : le cas de la restriction des scalaires de $GL_d$.

Jeudi 5 Novembre, Alexandre Bellis
Conjecture d'Opphenheim

Nous allons partir de la question des nombres irrationnels bien ou mal approchés pour montrer comment cela peut conduire à l'étude de formes quadratiques. Plus précisément, on montrera qu'être bien approché est équivalent à ce que l'image de $\mathbb{Z}^2$ par une certaine forme quadratique est dense dans $\mathbb{R}_+$ ou $\mathbb{R}_-$. Ensuite, on reliera l'étude des images de $\mathbb{Z}^2$ par des formes quadratiques à une étude géométrique sur des surfaces hyperboliques. Nous verrons que cette étude géométrique permet de transcrire les questions sur les formes quadratiques et les nombres bien ou mal approchés en termes géométriques. Enfin, après avoir fait ce lien, nous verrons que la conjecture d'Oppenheim concernant l'image par une forme quadratique de $\mathbb{Z}^3$ n'est pas vérifiée en dimension 2, et nous essaierons de comprendre intuitivement, à l'aide de la géométrie, ce qui fait la différence avec la dimension 3.

Jeudi 12 Novembre, Felipe Riquelme
Formalisme thermodynamique dans la surface modulaire.

Jeudi 19 Novembre, Nicolas Matte Bon (ENS Ulm)
Groupes pleins-topologiques et groupes d'echanges d'intervalles.

Je vais expliquer comment des groupes qui apparaissent naturellement en dynamique topologique (groupes pleins-topologiques et groupes d’échanges d’intervalles) fournissent des exemples de groupes intéressants à étudier du point de vue de la moyennabilité, la propriété de Liouville pour les marches aléatoires, la croissance.

Jeudi 26 Novembre, Christian Urech
Le groupe de Cremona et l'espace de Picard-Manin.

Le groupe de Cremona en dimension 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Il est bien compris grace à son action sur l'espace de Picard-Manin, un espace hyperbolique de dimension infinie. Je vais introduire le groupe de Cremona, construire l'espace de Picard-Manin et expliquer quelques résultats qu'on peut obtenir grace à cette construction.

Jeudi 3 Décembre, José Andrès Rodrigues Migueles
Théorème de rigidité de Mostow

Les structures hyperboliques présentent une forme de rigidité très forte à partir de la dimension 3. Le Théorème de Rigidité de Mostow dans le cas des variétés compactes affirme que deux variétés hyperboliques compactes ayant le même groupe fondamental sont nécessairement isométriques. On va donner trois façons de démontrer le résultat dues à Gromov et Thurston, Besson, Courtois et Galois et la preuve de Tukia, en détaillant la première.

Vendredi 4 Décembre, Soutenance de thèse: Gwezheneg Robert
Codes de Gabidulin en caractéristique nulle. Application au codage espace-temps.

Jeudi 10 Décembre, Alexandre Le Meur
Variétés jacobiennes et fonctions thêta.

Mardi 15 Décembre, Néstor Fernández Vargas
Fibrés paraboliques sur les courbes elliptiques.

Jeudi 14 Janvier, Vincent Mineo-Kleiner
Un peu d'équivalence perfectoïde.

Jeudi 21 Janvier, Türkü Özlüm Çelik
Some Model Theory as a Tool: Proof of Ax-Grothendieck Theorem.

Jeudi 28 Janvier, Loubna Ghammam
Adequate Elliptic Curves for Computing the Product of n Pairings.

Jeudi 4 Février, Kevin Quirin (Nantes)
Le groupe fondamental du cercle en théorie des types.

Homotopy type theory is an extension of Martin-Löf dependent type theory, trying to solve issues due to equality by exploiting a correspondance between MLTT and homotopy theory. Taking homotopical ideas helps to have new principles in type theory, and type theory helps to formalize results in homotopy theory. We will give an example of such a work, by proving formally in homotopy type theory that the fundamental group of the circle is the integers.

Jeudi 11 Février, Yvan Ziegler
Espaces de Berkovich et courbes elliptiques.

Lorsqu'on fait de la géométrie p-adique, les choses ne se passent pas toujours aussi bien qu'en géométrie complexe; on a du mal à définir les fonctions analytiques localement, la topologie sur nos espaces est pauvre,... Les espaces de Berkovich sont une tentative de résoudre ces problèmes. Grâce à eux nous obtenons une topologie plus riche, et une meilleure approche locale des problèmes. On obtient même des équivalents des principaux théorèmes d'analyse complexe. Je commencerais l'exposé par de bref rappels sur les p-adiques, ensuite je définirai les espaces de Berkovich, puis je décrirais la droite affine de Berkovich (le fameux "balais de sorcière"). Ensuite je parlerais des courbes de Tate, un certain type de courbe elliptique p-adiques, et nous verrons ce que les espaces de Berkovich nous apportent à leur étude. Le but de l'exposé est que vous puissiez à la fin comprendre les petits dessins de courbe de Tate à la Berkovich.

Lundi 22 Février, Pierre Monmarché (Neuchâtel)
Les valeurs propres sont dans Laplace.

Le laplacien, on connaît. Son spectre étend son ombre sur des problèmes d’origines diverses, dont nous ferons un tour d’horizon non exhaustif : géométrie, EDP, optimisation, probabilité… On s’attardera notamment sur son lien avec les notes de musique, ce qui expliquera leur nombre de 12 et le lien profond entre l’analyse harmonique et l’harmonica.

Jeudi 3 Mars, Olivier Thom
Un $\epsilon$ plus petit que tous les réels ?

Qui n'a jamais rêvé d'un $\epsilon$ qui marche tout le temps dans une démonstration du type " prenons $\epsilon$ positif assez petit, bla bla bla " ? Et bien cela est possible dans le cadre de l'analyse non standard. Le principe est de considérer un ensemble contenant $\mathbb{R}$, mais contenant aussi des nombres infiniment petits et infiniment grands (des réels non standards). Cela permet de simplifier tout un tas de choses. Le but de l'exposé est de présenter ces réels non standards, et de donner quelques exemples de choses que l'on peut faire simplement grâce à ça.
ps : ... au fait, c'est quoi un nombre réel standard ?

Jeudi 10 Mars, Yvan Ziegler
Les courbes elliptiques contre-attaquent.

Jeudi 17 Mars, Axel Rogue
3-variétés réelles

On entend souvent parler de "géométrie euclidienne" ou encore de "géométrie sphérique". Mais qu'appelle t'on réellement une géométrie ? Et combien y'en a-t-il ? Après avoir défini rigoureusement ce qu'est une géométrie, on verra ensemble les grands classiques que sont les géométries de dimension 1 et 2 et je vous présenterai les 8 géométries de dimension 3 établies par Thurston dans les années 70, ainsi que comment reconnaitre la géométrie d'une 3-variété fermée compacte en regardant son groupe fondamental. Avec un peu de chance, je mentionnerai la conjecture de géométrisation de Thurston prouvée par Perelman en 2003.

Jeudi 24 Mars, Hugo Martin
Quelques considérations géométriques en théorie des jeux.

L'objet de cet exposé est d'introduire les notions de base de théorie des jeux, en insistant sur les interprétations géométriques des objets et situations rencontrés. Dans une première partie, je vous parlerai des jeux à somme nulle : les modèles considérés, les stratégies pures et mixtes, bien entendu le théorème de Von Neumann d'existence de stratégies optimales pour finir sur une méthode pratique pour déterminer ces stratégies dans un cas particulier. Tout ceci parsemé d'interprétations. Dans une seconde partie, je tenterai de vous donner un aperçu de la théorie des jeux répétés, déterministes et à information complète d'abord puis à information incomplète, introduisant pour cela une petite touche de probabilités.

Jeudi 31 Mars, Anne Lonjou (Toulouse)
Espaces hyperboliques et groupe de Cremona.

La notion d'espace hyperbolique (au sens de Gromov) est très importante lors de l'étude d'un groupe. En effet, faire agir un groupe sur un espace hyperbolique peut permettre d'obtenir des propriétés très intéressantes sur le groupe. Nous définirons cette notion et donnerons quelques exemples. Puis nous nous intéresserons à deux espaces sur lesquels le groupe de Cremona de dimension 2 agit : l'espace de Picard-Manin et le graphe de Wright. Nous essaierons de nous convaincre que le graphe de Wright est un graphe hyperbolique en utilisant le fait que l'espace de Picard-Manin est hyperbolique.

Jeudi 7 Avril, Néstor Fernández Vargas
Fibrés et physique.

La notion de fibré est devenue très importante dans la physique. Les fibrés décrivent, par exemple, les interactions de particules dans le espace-temps, et constituent un modèle de notre réalité selon les théories physiques modernes. Dans l'exposé de demain on verra des exemples de cette idée.

Jeudi 21 Avril, Arnaud Girand
Convolution moyenne par tresses pour les nuls.

On se propose dans cet exposé d'expliquer comment utiliser les groupe de tresses d'Artin pour définir un opérateur agissant sur des espaces de représentations d'un groupe libre. Pour ce faire, nous décrirons un procédé développé par Katz visant à "moyenner" les extensions affines d'une représentation linéaire d'un groupe libre. Aucune connaissance particulière des sujets abordés ne sera requise mais une envie irrépressible de tresser des choses est recommandée. Si le temps le permet, nous mentionnerons une ou deux applications de ce procédé.
Cet exposé est garanti 100% poney-free.

Mardi 3 Mai, Basile Pillet
2 mini-exposés :
Avatars du lemme de Yoneda
Additionner et diviser : Quelques questions ouvertes d’arithmétique.

Jeudi 12 Mai, Youenn Bidel
Autour du 17ème problème de Hilbert.

Dans cet exposé, je ferai une introduction aux problèmes de somme de carrés et à l'algèbre réelle. Tout d'abord je présenterai la conjecture originelle (fausse...) de Hilbert accompagnée d'un fameux contre exemple puis une version affaiblie que je démontrerai au cours de l'exposé. Ce résultat affirme que tout polynôme en n variables, positif sur $\mathbb{R}^n$ peut s'écrire comme une somme de carrés de fractions rationnelles. Enfin si le temps le permet je ferai une brève introduction au spectre réel et en application le calcul du spectre réel de $\mathbb{R}[X]$.

Jeudi 19 Mai, José Andrès Rodrigues Migueles
Difféomorphismes des surfaces.

Le but de cet exposé sera d'introduire l'étude des difféomorphismes des surfaces fermées orientés en montrant les deux résultats suivants. D'un côté, le sous-groupe des rotations sur la sphère est une rétraction par déformation des difféomorphismes de la sphère. De l'autre côté, le groupe des diffémorphismes à isotopie près sur des surfaces fermées de genre positif est isomorphe au groupe des automorphismes extérieurs de son groupe fondamental.

Jeudi 26 Mai, Cyril Lacoste
Trialité et octonions

Jeudi 9 Juin , Gabriel Dill (Université de Bâle, Suisse)
Heights and Equidistribution.

Heights are an important tool in Diophantine geometry to measure the „complexity“ of an algebraic number. They are often useful when one studies algebro-geometric questions (e.g. integral/rational points on curves). In this talk, we will introduce heights on an elementary level in order to explain the equidistribution theorem of Bilu (1997) about algebraic numbers of small height. This theorem is the reason for the pattern one sees in the figure on the right which shows the (complex) roots of a polynomial of degree 100 with randomly chosen integer coefficients of absolute value at most 10^6. Time permitting, we will sketch how one can use this theorem to show that any irreducible curve in $\left(\mathbb{C}^{\ast}\right)^{2}$, defined over the rationals and not satisfying some special conditions, has the Bogomolov property, i.e. there is $\epsilon$ > 0 such that there are only finitely many algebraic points on the curve with height $\leq \epsilon$.

Jeudi 16 Juin, Tommaso Cremaschi (Boston College, USA)
Correspondence between (1+1)-TQFT and Frobenius Algebras.

We are going to introduce the general definition of Topological quantum field theory (TQFT) and explain the relation, in dimension 2, with Frobenius Algebras in particular how there is a 1-1 correspondence between 2-TQFT and commutative Frobenius algebras. There will be lots of pretty pictures and maybe a few diagrams.

Jeudi 23 Juin, Soutenance de thèse: Felipe Riquelme.
Autour de l’entropie des difféomorphismes de variétés non compactes

Vendredi 24 Juin, Damien Davy
Les équations différentielles linéaires d'ordre 2 sont-elles compliquées ?

Jeudi 30 Juin, Mercedes Haiech
Idées de base de théorie des modèles.

La théorie des modèles est une branche des mathématiques qui étudie les structures en considérant les formules du premier ordre. Qu’est-ce qu’une formule, comment définir la notion d’énoncé et de théorie en mathématique, et quels types de résultats peut-on espérer avoir grâce à ce genre d’étude, sont des questions que l'on va se poser.

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Année 2014 - 2015

Jeudi 18 Septembre, Camille Horbez
Automorphismes aléatoires.

Des travaux classiques, dus en grande partie à Furstenberg, permettent de comprendre le comportement asymptotique d'un produit aléatoire $X_n ... X_1$ de matrices $X_i$ indépendantes et identiquement distribuées. On peut s'intéresser d'une part au comportement asymptotique de la norme d'un tel produit, d'autre part à la croissance des vecteurs de ${\mathbb{R}}^N$ sous l'effet d'un tel produit. Autrement dit, si v est un vecteur non nul de ${\mathbb{R}}^N$, que peut-on dire du comportement asymptotique de la norme du vecteur$ X_n...X_1v$ ? De manière analogue, je m'intéresserai à la croissance des éléments d'un groupe libre ${\bf F}_N$ sous l'action d'un produit aléatoire d'automorphismes (extérieurs) de ${\bf F}_N$, et donnerai des énoncés similaires dans ce contexte. Je m'intéresserai également au comportement asymptotique d'un produit aléatoire d'isométries d'un espace métrique, et introduirai pour cela la notion d'horofrontière d'un espace métrique. J'énoncerai dans ce contexte un théorème dû à Karlsson et Ledrappier, et expliquerai le lien avec la question précédente des automorphismes aléatoires de ${\bf F}_N$.
 

Jeudi 25 Septembre, Axel Rogue
Un peu de dynamiques complexe.

Jeudi 2 Octobre,Tristan Vaccon
Précision $p$-adique, application aux équations différentielles $p$-adiques.

Lorsqu'on souhaite travailler de manière effective avec des nombres $p$-adiques, on est confronté avec le fait de devoir travailler en précision finie. Avec X.Caruso et D.Roe, nous avons développé une manière optimale d'estimer la perte de précision, qu'on peut appeler méthode différentielle, et qui montre essentiellement qu'il suffit de travailler au premier ordre. Nous avons aussi montré que l'on pouvait atteindre cette perte de précision optimale par la méthode des "relevés arbitraires". Cet exposé aura ainsi pour but de présenter et d'illustrer les méthodes différentielles et des "relevés arbitraires" à travers leur application à l'étude d'équations différentielles $p$-adiques utilisées pour des calculs de polynômes composés ou d'isogénies entre courbes elliptiques. Il s'agit d'un travail en cours avec Pierre Lairez.

Mardi 7 Octobre, Soutenance de thèse : Élise Goujard.

Mercredi 8 Octobre, Néstor Fernández Vargas
Fibrés vectoriels de rang $2$ sur les courbes elliptiques.

L'objectif est d'étudier et de classifier les fibrés vectoriels de rang $2$ sur une courbe elliptique. On pourra aussi introduire la notion de stabilité d'un fibré vectoriel, un outil important pour la construction des espaces de modules des fibrés vectoriels sur une courbe. On commence en définissant les fibrés vectoriels et par établir ses propriétés et caractérisations principales. Ensuite on introduira les groupes de cohomologie $H^i(E)$ d'un fibré vectoriel $E$ et les groupes Ext, qui vont permettre d'obtenir des résultats intéressants sur les suites exactes courtes (ou extensions) de fibrés. On étudie aussi les fibrés vectoriels sur ${\mathbb{P}}^1$, et on définit les notions de simplicité et décomposabilité qui permettront de classifier les fibrés vectoriels de rang $2$ sur une courbe elliptique.

Jeudi 23 Octobre, Margot Bouette
Groupes de Baumslag-Solitar généralisés et exemples d'arbres limites.

Pour $G$ un groupe, un $G$-arbre $T$ est un arbre muni d'une action de $G$ par automorphismes sans inversion. En considérant l'ensemble des $G$-arbres reliés à $T$ par une déformation élémentaire, on obtient un espace de déformation que l'on peut munir d'une topologie. Dans mon exposé, je commencerai par définir et préciser l'ensemble des notions évoquées précédemment puis après avoir donné quelques précisions sur le cas particulier des groupes de Baumslag-Solitar généralisés, on considérera le cas $G=BS(2,4)$ afin de donner un ou plusieurs exemples d'arbres limites.

Vendredi 31 Octobre, Soutenance de thèse : Cécile le Rudulier.

Vendredi 7 Novembre, Basile Pillet
Analyse, géométrie et algèbre de la théorie de la relativité (1/2).

Jeudi 13 Novembre, Basile Pillet
Analyse, géométrie et algèbre de la théorie de la relativité (2/2).

Jeudi 20 Novembre, Clément Guérin (Strasbourg)
Étude locale de la variété des représentations d'un groupe de type fini.

La variété des représentations d'un groupe de type fini dans un groupe de Lie est un objet qui trouve de nombreuses applications dans la littérature (e.g. un groupe de surface dans $PSL(2,{\mathbb{R}})$, les représentations discrètes, fidèles et co-compact modulo conjugaison au but donnent l'espace de Teichmuller de la surface) . Dans cet exposé, on se propose de livrer quelques éléments pour l'étude locale de ces variétés. Bien qu'elle soit compliquée en général, on peut toujours trouver une description agréable de l'espace tangent en un point de cette variété. Nous chercherons à utiliser cette description pour comprendre le lien avec la variété des caractères. Un certain nombre d'exemples et de contre-exemples seront fournis. Si le temps le permet on s'intéressera à un théorème de Goldman et Millson permettant de limiter la « complexité » des singularités dans le cas des représentations semi-simples de groupe de surface et de sa généralisation au cas des groupes triangulaires par équivariance.

Jeudi 27 Novembre, Damien Davy
Séries divergentes.

Lundi 1er Décembre, Soutenance de thèse : Christophe Tran.

Dans cette thèse, j’étudie deux aspects distincts de la cryptographie basée sur les courbes elliptiques et hyperelliptiques. Dans une première partie, je confronte deux méthodes originales de calcul de couplages. Dans la seconde partie de ma thèse, je me suis intéressé à la généralisation des polynômes de sommation des courbes elliptiques aux courbes hyperelliptiques. Ce sont des outils importants de l’algorithme de calcul d’index.

Jeudi 4 Décembre, Damien Davy
Séries divergentes (bis).

Mardi 9 Décembre, Soutenance de thèse : Camille Horbez.

L'exposé sera consacré à une version de l'alternative de Tits pour le groupe des automorphismes extérieurs d'un produit libre. Un théorème de Grushko affirme que tout groupe de type fini admet une décomposition en un produit libre de la forme $G_1* ... *G_k*{\mathbf{F}}_n$, où chacun des $G_i$ est non trivial, non isomorphe à ${\mathbb{Z}}$, et librement indécomposable. Je montre que si chacun des groupes $G_i$ et $Out(G_i)$ satisfait l'alternative de Tits, alors il en est de même de $Out(G)$. Ceci a des applications notamment aux groupes d'automorphismes de groupes d'Artin à angles droits. La démonstration de mon théorème repose sur des techniques issues à la fois de la géométrie des groupes et de la théorie des marches aléatoires sur les groupes. Je les présenterai dans le cadre de la preuve de l'alternative de Tits pour le groupe modulaire d'une surface compacte orientable, et expliquerai comment les arguments se généralisent au contexte des groupes d'automorphismes de produits libres.

Jeudi 11 Décembre, Arnaud Girand
Orbifolds en dimension $2$.

La notion d'orbifold, introduite par Thurston dans les années 1970, est une extension de la notion de variété ('manifold') visant à décrire des espaces ressemblant localement au quotient de ${\mathbb{R}}^n$ sous une action proprement discontinue. Dans cet exposé, nous nous intéresserons plus particulièrement aux orbifolds de dimension $2$ ainsi qu'à quelques applications à l'étude des revêtements ramifiés.

Vendredi 12 Décembre, Soutenance de thèse : Kodjo Kpognon.

Jeudi 18 Décembre, Alexandre Bellis
Lien entre orbite du flot géodésique ou horocyclique et points limites.

Lorsque l'on regarde comment l'orbite d'un point par un sous-groupe discret de $PSL_2({\mathbb{R}})$ va s'accumuler sur le bord à l'infini du demi-plan de Poincaré, on observe plusieurs cas. Le but de cet exposé sera de relier ces différents cas avec les orbites de deux flots : le flot géodésique et le flot horocyclique.

Lundi 12 Janvier, Pierre Vigué (Marseille)
Solutions périodiques d'un système à friction, l'exemple de la corde de violon.

Un système régi par une EDP à paramètre, comme la corde frottée d'un violon, admet des solutions périodiques en temps, que l'on peut rechercher sous forme fréquentielle ou temporelle. La continuation de ces solutions, c'est regarder comment ces solutions évoluent selon le choix d'un paramètre (par exemple, la vitesse d'archet, ou la force d'appui de l'archet sur la corde). Nous verrons sur un modèle simple comment la friction peut être modifiée pour la continuation, et les modifications qualitatives que subit la solution par rapport à la friction de Coulomb. Le choix de la méthode de discrétisation temporelle est souvent propre à chaque communauté, nous comparons ici deux méthodes (la collocation orthogonale aux points de Gauss, et l'équilibrage harmonique) sur le même problème. Enfin, seront évoquées les pistes prochainement suivies pour une étude plus complète de la corde frottée. Aucun pré-requis de mécanique ou de méthodes numériques n'est nécessaire pour suivre cet exposé.

Mercredi 21 Janvier, Sébastien Martineau (Lyon)
Nombres aléatoires versus nombres génériques : mathématiques, logique et mécanique céleste.

Jeudi 29 Janvier, Loubna Ghammam
Utilisation des couplages sur les courbes elliptique pour la microélectronique.

Lors de l'implémentation des couplages, on peut rencontrer des problèmes de gestion des ressources, par exemple quand les composants électroniques ont des capacités (calcul, stockage, consommation, …) restreintes. Il faut alors adapter les algorithmes voire les objets mathématiques en eux-mêmes pour s'adapter à ces restrictions. Dans cet exposé je présente des nouvelles approches de calcul non pas du couplage tout entier mais l'exponentiation finale du couplage.

Jeudi 5 Février, Vincent Mineo-Kleiner
Faisceaux, monodromie et correspondance de Riemann-Hilbert.

Jeudi 26 Février, Amaury Bittmann (Strasbourg)
Développements asymptotiques Gevrey et sommabilité. Applications aux équations différentielles à singularité irrégulière.

Nous commencerons cet exposé par un exemple : nous étudierons les solutions formelles de l'équation d'Euler. Nous verrons qu'il n'y en a qu'une, et qu'elle peut être resommée (en en un sens qui sera précisé) en une "vraie" solution. En particulier, nous verrons que l'erreur commise entre la solution formelle et la "vraie" solution peut-être exponentiellement petite si l'on arrête la sommation à un ordre judicieusement choisi (en fonction du point en lequel on désire approcher la solution). C'est ce que l'on appelle la sommation au plus petit terme. Nous introduirons ensuite les notions de développements asymptotiques Gevrey, et de sommabilité pour une série de type Gevrey, dans un contexte général.

Jeudi 5 Mars , Yvan Ziegler
Nombres $p$-adiques et solénoïde.

J'aimerais dans cet exposé commencer par une introduction sur les nombres $p$-adiques. Beaucoup d'entre vous ne connaissent pas bien ces nombres alors que l'on en parle régulièrement au Pampers. J'aimerais réparer cette injustice! Ensuite j'aimerais vous parler du solénoïde $p$-adique, un objet $p$-adique qui a des propriétés fort sympathiques et qui contribuera je l'espère à réconcilier les non $p$-adiciens et les $p$-adiciens.

Jeudi 12 Mars, Alexandre Lemeur
Variétés Grassmaniennes et plongement de Plücker.

Jeudi 19 Mars, Camille Horbez
L'alternative de Tits pour les groupes hyperboliques et les groupes modulaires de surfaces.

On dit qu'un groupe $G$ satisfait l'alternative de Tits si tout sous-groupe de $G$ contient un sous-groupe libre non abélien ou possède un sous-groupe d'indice fini résoluble. Je ferai un panorama de certaines classes de groupes pour lesquelles cette alternative est connue. L'un des objectifs de l'exposé sera ensuite d'expliquer comment utiliser l'action d'un groupe $G$ sur un espace hyperbolique pour tirer des informations sur les sous-groupes de $G$. Je présenterai en particulier une idée de preuve de l'alternative de Tits pour le groupe modulaire d'une surface compacte orientable.

Mercredi 25 Mars, Felipe Riquelme
Estimations de l'entropie pour un système dynamique différentiable.

Dans cet exposé je vous parlerai du lien entre 'entropie métrique d'un difféomorphisme défini sur une variété riemannienne compacte et les exposants de Lyapounov de la transformation. Plus précisément, pour toute mesure de probabilité invariante et ergodique, l'entropie métrique est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs (avec multiplicité). Lorsque la différentielle de la transformation est hölderienne et que la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, on a égalité entre ces deux expressions.

Lundi 30 Mars, Jean-Baptiste Boyer (Bordeaux)
Produits de matrices aléatoires.

Je commencerai par énoncer le théorème d'Oseledets qui donne l'existence de "directions propres" pour un produit de matrices aléatoires et puis un critère pour la positivité du premier exposant. Enfin, j'énoncerai les résultats de loi des grands nombres et grandes déviations qui permettent de quantifier le théorème d'Oseledets.

Jeudi 9 Avril, Double séance "Drinfeld"
Florent Demeslay (Caen)
Une formule de classes en caractéristique positive.

En 2012, Taelman a démontré une formule pour certaines valeurs en 1 de fonctions $L$ en caractéristique positive qui fournit un analogue à la formule du nombre de classes. Après avoir mis en avant l'analogie entre les corps de nombres et les corps de fonctions, j'expliquerai comment on peut généraliser cette formule pour obtenir le même résultat pour les valeurs en $n$.

Türkü Özlum Çelik
A Drinfeld modular interpretation.

A Drinfeld modular interpretation due to Elkies of an asymptotically optimal tower that constructed by Bezerra and Garcia.

Jeudi 16 Avril, Néstor Fernández Vargas
Espaces de modules des courbes.

Un espace de modules est un espace géométrique dont ses points représentent objets algébriques/géométriques d'un certain type, ou classes d'isomorphisme de ces objets. Ces espaces apparaissent souvent comme solutions de problèmes de classification. Le but de l'exposé est d'introduire cette notion et de la motiver à travers d'un cas particulier : la classification des courbes algébriques lisses de genre fixé.

Jeudi 30 Avril, Charles Savel
Le théorème de Bézout pour les courbes algébriques projectives planes.

Un résultat connu de Bézout dit que deux courbes projectives planes irréductibles (distinctes) de degrés $d$ et $e$ ont exactement $d\cdot e$ points d'intersection, lorsqu'on les compte avec multiplicité. Je définirai les notions de degré de courbes algébriques, de multiplicité d'intersection, et je donnerai les grandes lignes de la démonstration du résultat de Bézout.

Jeudi 7 Mai, Alexandre Afgoustidis (Jussieu)
Les cartes d'orientation du cortex visuel primaire et quelques champs aléatoires gaussiens associés à des représentations de groupe.

Dans votre cortex visuel primaire, l'assemblée des neurones se répartit l'information sur ce qu'il y a sous vos yeux, et s'organise pour traiter cette information. Je commencerai par vous dire ce que font les neurones individuellement et pourquoi cela signifie que le cortex procède à une compression par ondelettes, mais mon exposé portera surtout sur l'étonnante géométrie que la plupart des mammifères adoptent pour arranger les "spécialités" des neurones à la surface du cortex en vue du traitement global de l'information. Des expériences récentes ont montré qu'il y a une propriété statistique des singularités cet arrangement (la "densité de pinwheels") dont la valeur expérimentale est mystérieusement commune à toutes les espèces ; cette valeur expérimentale est 3.14 et des poussières...
Après vous avoir dit pourquoi c'est une bonne idée de chercher du côté de la théorie des représentations de groupes de Lie pour parler des modèles qui veulent reproduire cette géométrie, et vous avoir donné quelques exemples d'espaces fonctionnels réalisant des représentations irréductibles de groupes non compacts, je vous expliquerai comment un champ aléatoire gaussien qui reproduit très bien la "géométrie corticale" est caché dans toute représentation unitaire irréductible (de dimension infinie) du groupe des déplacements. Je donnerai plus de définitions qu'aux rencontres d'octobre bien sûr, et je dirai comment le résultat sur la statistique des singularités se rattache aux questions de probabilités sur les ensembles nodaux de processus aléatoires. Quant à savoir pourquoi tous les mammifères ou presque adoptent une géométrie aux propriétés si précises et de quelle façon la perception s'appuie dessus, le mystère restera entier : personne ne sait.

Mardi 12 Mai, Federico Lo Bianco
Introduction à la théorie de Morse.

Jeudi 21 Mai, Eddie Aamari (Saclay)
Persistance topologique et estimation de support.

Lorsqu'on ne connait une forme géométrique qu'à travers un sous-échantillon fini, donner un descripteur quantitatif pertinent basé sur le nuage de points est primordial, notamment dans l'optique d'un apprentissage statistique. Ces descripteurs, souvent locaux ou globaux, souffrent d'un problème de choix d'échelle. Le but de l'exposé sera de présenter des descripteurs topologiques à la fois locaux et globaux: les diagrammes de persistance. Nous verrons comment ceux-ci peut être traité dans un cadre aléatoire via l'estimation du support de variable aléatoire.
Après avoir introduit l'homologie simpliciale, nous présenterons la persistance topologique. Le résultat de stabilité de la persistance permettra ensuite de travailler dans un cadre aléatoire et de faire le lien avec l'estimation de support. On en présentera une ou plusieurs procédures si le temps le permet.

Jeudi 28 Mai, Gabriel Zalamansky
Sphère de Riemann et dessins d'enfants.

Un théorème de G.V. Belyi montre que certains revêtements de la sphère de Riemann sont de nature arithmétique, c'est-à-dire définis sur un corps de nombres. Dans son Esquisse d'un programme, Grothendieck remarque que ces derniers sont paramétrés par des objets combinatoires très simples que l'on appellera dessins d'enfants. Ces derniers sont naturellement munis d'une action du groupe de Galois absolu de $\mathbb{Q}$ qu'il propose d'utiliser pour obtenir des informations sur sa structure. On présentera ces constructions.

Jeudi 4 Juin, Gwezheneg Robert
Codes de Gabidulin et codage espace-temps.

Après avoir présenté le codage espace-temps, j'expliquerai pourquoi il est naturel de vouloir utiliser des codes en métrique rang à coefficients dans le corps des complexes. Nous comparerons alors deux telles constructions. Ensuite, nous regarderons quelques pistes concernant le décodage. Enfin, le dernière partie sera consacrée à la réduction d?un code de Gabidulin généralisé modulo un idéal premier, et l?impact sur la complexité du décodage.

Jeudi 11 juin, Yvan Ziegler
Solénoïde $p$-adique.

Cet exposé fait suite à mon précédent exposé pampers : Nombres $p$-adiques et Solénoïde, dans lequel je n'ai malheureusement pas eu le temps de vraiment parler du Solénoïde. Le solénoïde $p$-adique peut être définit simplement comme la limite projective des $\mathbb{R} /p^n \mathbb{Z}$. Comme on pourra très vite le voir, ses premières propriétés le placent aux frontières du réel et du p-adique. Dans cet exposé, je me propose de vous dépeindre ces propriétés et je l'espère contribuer à finir de réconcilier les non $p$-adiciens et les $p$-adiciens.

Jeudi 18 Juin, Ophélie Rouby
Opérateurs de Berezin-Toeplitz sur le tore.

Les opérateurs de Berezin-Toplitz sur le tore sont des opérateurs définis sur des espaces de sections holomorphes issus de fibrés préquantifiants du tore. Nous verrons dans cet exposé, comment construire un fibré préquantifiant sur le tore et comment à partir de ce fibré on peut définir l'espace des sections holomorphes de manière simple. Pour ce faire, nous construirons un fibré préquantifiant et l'espace des sections qui lui est associé sur le plan complexe et nous verrons comment en ajoutant des translations, on peut passer au cas du tore.

Mercredi 24 Juin, Soutenance de thèse : Romain Basson.

L’objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre $3$ en caractéristique positive. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l’intermédiaire des algèbres d’invariants pour l’action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré $8$, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des corps de caractéristiques $3, 5$ et $7$ restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inopérantes pour l’obtention de générateurs pour les algèbres d’invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d’exhiber des invariants séparants en caractéristiques $3$ et $7$. En outre, nos résultats concernant la caractéristique $5$ suggèrent l’inadéquation de cette approche pour ce cas. À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre $3$ en caractéristiques $3$ et $7$ selon les groupes d’automorphismes et implémenter divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d’une courbe à partir de son module, i.e. la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attachés aux questions arithmétiques, comme l’existence d’une obstruction à être un corps de définition pour le corps de modules et, dans le cas contraire, à l’obtention d’un modèle de la courbe sur ce corps minimal. Enfin pour la caractéristique $2$, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leurs modèles d’Artin-Schreier. Nous exhibons pour ceux-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes.

Jeudi 25 Juin, José Andrés Rodríguez Migueles
Exemples autour la théorie de la déformation.

Le théorème de fibration d'Ehrsemann affirme que toute submersion surjective propre entre variétés lisses est une fibration localement triviale. Dans le cas holomorphe ce résultat est faux ; c'est le début de la théorie de la déformation de Kodaira-Spencer. Nous allons étudier deux exemples des familles de déformations associées aux surfaces de Hirzebruch et de Hopf. Le but est comprendre que l'obstruction pour avoir des déformations triviales sur une variété compacte complexe est de type cohomologique.

Vendredi 3 Juillet, Soutenance de thèse : Tristan Vaccon.

Les nombres $p$-adiques, introduits il y a un peu plus d'un siècle par Kurt Hensel, peuvent être vus comme un analogue des nombres réels permettant d'appliquer des méthodes de nature analytique à des problèmes arithmétiques. Avec l'avènement ces dernières décennies du calcul scientifique, du calcul formel puis de la géométrie arithmétique, des algorithmes utilisant numériquement les nombres p-adiques ont été développés avec des applications diverses (factorisation dans des anneaux de polynômes, comptage de points sur des courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis,...). La première partie de cette thèse propose une méthode, dite de la précision différentielle, pour gérer la précision pour de tels algorithmes. Elle montre essentiellement que la précision est gouvernée par les approximations au premier ordre. La seconde partie de cette thèse s'intéresse à la question suivante : quelles bases de Gröbner peuvent être calculées (à précision finie) sur un corps p-adique ? Pour y répondre, nous étudions la stabilité du calcul des bases de Gröbner par un calcul direct, par un algorithme de changement d'ordre et, enfin, grâce à une méthode tropicale.

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Année 2013 - 2014

Mercredi 18 Septembre, Tristan Vaccon
Précision p-adique exemples et applications

Lorsqu'on souhaite travailler de manière effective avec des nombres p-adiques, on est confronté avec le fait de devoir travailler en précision finie. Dans cet exposé, je montrerai les trois principaux outils d'étude de la précision p-adique : suivi pas à pas, polygone de Newton et calcul différentiel.

Mercredi 25 Septembre, Damien Davy
Introduction à la théorie de Galois différentielle, version algébrique

Mercredi 2 Octobre, Basile Pillet
Une introduction manuelle à la théorie de Mori

Le but de cet exposé est de présenter de manière informelle (j’insiste) les techniques dites "bend & break" de création de courbes rationnelles et d’entrapercevoir leur utilité dans le cadre du programme du modèle minimal de S. Mori.

Mercredi 9 Octobre, Charles Savel
Courbes projectives non singulières et corps de fonctions de dimension 1

Le but de l'exposé est de faire le lien entre les courbes projectives non-singulières et les corps de fonctions de dimension 1 sur k, i.e. les extensions de k de type fini de degré de transcendance 1. Je rappellerai d'abord ce qu'est une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k, ce qu'est le faisceau des fonctions régulières sur une telle variété et le corps des fonctions, puis j'essaierai d'expliquer comment on peut associer une courbe projective non-singulière à un corps de fonctions de dimension 1.

Mercredi 16 Octobre, Andrew Sale
The geometry of free solvable groups

Mardi 22 Octobre, Soutenance de thèse de Sandrine Caruso

Mercredi 23 Octobre, Alexandre Lemeur
Variétés abéliennes

Mercredi 13 Novembre, Christian Urech
The affine Cremona group and its automorphisms

The affine Cremona group is the group of polynomial automorphisms of the affine n-space A^n. I will introduce the group, describe its ind-group-structure and explain some recent results about its automorphisms as an abstract group and as an ind-group.

Mercredi 20 Novembre, Julien Dhondt
Géométrie analytique non archimédienne I

Géométrie rigide suivant Tate. On cherche à établir une notion d'espace analytique sur un corps non-archimédien complet K. Si l'on s'inspire de la théorie des variétés analytiques complexes, en définissant les fonctions analytiques comme fonctions développables en séries entières au voisinage de chaque point, on obtient un faisceau « trop riche » (et « pas assez » de variétés) car K est totalement discontinu. La construction proposée par Tate n'est donc pas celle d'un tel faisceau sur un espace topologique localement homéomorphe à des ouverts de K^r, mais celle d'un espace rigide : un ensemble muni d'une topologie de Grothendieck et d'un préfaisceau vérifiant la condition de faisceau pour les recouvrements ouverts dits « admissibles ». Nous étudierons, sans effectuer toute cette construction, les objets affines de cette théorie et donnerons une condition suffisante pour qu'un recouvrement soit admissible.

Mercredi 27 Novembre, Julien Dhondt
Géométrie analytique non archimédienne II

Mercredi 4 Décembre, Kodjo Kpognon
Dérivations et nilpotents non triviaux du schéma des arcs tracés sur une courbe algébrique affine

Suite à l'introduction de la notion d'arcs tracés sur une variété algébrique et de la notion de dérivation sur cette dernière, nous montrerons que le schéma des arcs tracés sur une courbe algébrique affine est réduit si et seulement si la courbe est lisse.

Mercredi 11 Décembre, Sandrine Caruso
Introduction aux espaces \delta-hyperboliques

Mercredi 18 Décembre, Arnaud Girand
Histoires de connexions plates

Le but premier de cet exposé est de présenter différentes définitions (équivalentes ...) de la notion de connexion plate sur un fibré puis d'expliquer comment il est possible (et pourquoi il est souhaitable) de jongler entre ces dernières.

À noter que cet exposé ne comportera pas de numéro de cirque.

Mercredi 15 Janvier, Cécile Le Rudulier
Points quadratiques de hauteur bornée sur P^1xP^1

Je donnerais dans cet exposé une estimation du nombre de points quadratiques de hauteur bornée sur P^1xP^1. Nous verrons ensuite ce que cette estimation implique pour la conjecture de Manin, qui concerne les points rationnels de hauteur bornée sur une variété projective lisse. La notion de hauteur sera définie en début d'exposé.

Mercredi 22 Janvier, Aurélien Sagnier (Paris VII-Münster)
Autour du théorème de Riemann-Roch

Dans mon exposé j'essaierai de décrire la famille et la vie du théorème de Riemann-Roch : ses origines, sa naissance, son enfance, son adolescence, son âge adulte et ses descendants. Sa famille étant vaste et sa vie bien remplie, mon exposé sera forcément partiel et réflètera mes propres intérêts mathématiques.

Mercredi 29 Janvier, Yvan Ziegler
Courbes elliptiques sous les points de vues complexe et p-adique

Dans mon exposé j'essayerais de vous dresser un portrait comparatif des courbes elliptiques respectivement vues dans C et dans C_p. Il est bien connu que leur étude dans le corps des complexes a permis d'en réveler des propriétés extrêmements riches. Mais par exemple dans le cadre de l'étude des courbes elliptiques sur les corps finis il est tout à fait naturel d'étudier également ces courbes dans C_p. On vera ainsi un petit aperçu de ce que les deux point de vues nous apportent, et notamment le lien avec la cryptographie (si j'ai le temps).

Mercredi 5 Février, Gwezheneg Robert
Décodages des codes de Reed-Solomon et des codes de Gabidulin

Dans mes derniers exposés à ce séminaire, je présentais les codes de Gabidulin comme l'équivalent des codes de Reed-Solomon en métrique rang. L'idée pour cet exposé est de présenter une manière de décoder les codes de Reed-Solomon, et de faire le lien avec les décodage des codes de Gabidulin.

Mercredi 12 Février, Elise Goujard
Petite pause accoustique

Je propose de faire une petite pause musicale pour parler un peu d'acoustique, en particulier de quelques notions comme la gamme, les harmoniques, le timbre, et de voir à quel niveau interviennent les maths. Il n'y aura pas de géométrie dans l'exposé, mais un soupçon de physique, une pincée de maths, saupoudré d'un peu d'histoire et agrémenté de quelques sons illustratifs, le tout à un niveau très modeste.

Mercredi 19 Février, Ophélie Rouby
Conditions de Bohr-Sommerfeld

Les conditions de Bohr-Sommerfeld caractérisent le spectre d'un opérateur pseudo-différentiel auto-adjoint. Ces conditions s'obtiennent via la détermination de solutions dites microlocales d'un opérateur pseudo-différentiel P(h) (ce sont des solutions u_h de l'équation P(h)u_h=0 ). Nous verrons comment construire de telles solutions à l'aide d'outils géométriques.

Mercredi 26 Février, Vincent Mineo-Kleiner
En guise de premier pas vers la cohomologie rigide

Ma thèse porte sur la cohomologie rigide, une théorie cohomologique adaptée aux variétés sur un corps fini, que l'on construit à l'aide des corps p-adiques, qui nous permettent de relever nos variétés en caractéristique nulle. Au lieu de rentrer directement dans le vif du sujet, que ce soit pour cet éxposé ou pour mon travail personnel, j'ai décidé de commencer par retracer l'histoire des théories cohomologiques. Cette histoire commence par la notion d'homologie, inventée par Poincarré au début du 20e siècle. Je ferai donc un exposé de topologie algébrique, qui se voudra élémentaire. On introduira donc l'homologie singulière, un invariant topologique centré sur les idées de découpage et de bord des espaces topologiques, à une époque ou l'on cherchait à classifier les espaces à l'aide de la connexité.

Mercredi 5 Mars, Vincent Mineo-Kleiner
En guise de premier pas vers la cohomologie rigide

Mercredi 12 Mars, Camille Horbez
Marches aléatoires sur les groupes et horofonctions

Mon exposé sera une introduction à quelques problèmes liés aux marches aléatoires sur les groupes : étant donné un groupe G agissant sur un espace métrique, que peut-on dire du comportement asymptotique typique d'un élément de G obtenu par multiplication d'incréments successifs indépendants choisis suivant une même loi de probabilité sur G ? On abordera des notions possibles de vitesse et direction de fuite de la marche aléatoire ainsi définie. Au cours de mon exposé, je serai amené à introduire une construction de bord à l'infini d'un espace métrique X qui fait appel à une notion d'horofonctions sur X.

Mercredi 2 Avril, Sinan Yalin (Luxembourg)
Théories de champs topologiques

Les théories de champs quantiques topologiques ont été axiomatisés en 1988 par Atiyah, en s'inspirant des travaux de Segal sur les théories de champs conformes et de Witten en physique théorique (supersymétrie, théorie des cordes). Elles ont eu depuis un fort impact en mathématiques, notamment pour la construction d'invariants quantiques des noeuds, invariants de variétés, et l'on a réalisé ces dernières années qu'elles sont profondément reliées à d'autres sujets comme la théorie des catégories supérieures (et, conjecturalement, le programme de Langlands géométrique). Elles ont aussi une longue et fructueuse histoire du côté de la physique, notamment concernant les travaux menés sur les différents modèles de supersymétrie.
Les applications sont vastes, et l'objet du présent exposé ne sera bien sûr pas d'en faire une présentation exhaustive. Une bonne partie de mon exposé s'axera sur la définition d'une TQFT : prérecquis de théorie des catégories, définition formelle, et le cas particulier des TQFTs de dimension 2 qui sont caractérisables par des objets algébriques bien connus, les algèbres de Frobenius. Ce qui se passe en dimension 2 est facilement visualisable et constitue donc un bon "toy model" pour appréhender cette notion. Dans une dernière partie, je donnerai un aperçu informel des motivations dans l'étude des TQFTs de dimension supérieures ainsi que celles dites "étendues".

Mercredi 9 Avril, Filip Misev (Bern)
Noeuds fibrés

Mercredi 16 Avril, Arthur Chassaniol (Clermont-Ferrand)
Etude des groupes quantiques de permutation

Je commencerai par définir la généralisation quantique des groupes de permutations classiques puis donnerai des moyens pour étudier ses groupes "abstraits" en utilisant notamment les graphes sommet-transitifs finis et la théorie des représentations/co-représentations.

Mercredi 23 Avril, Marine Fontaine (Manchester)
Symplectic reduction for finite-dimensional Hamiltonian system

Mercredi 14 Mai, Arnaud Girand
Un exemple de déformation isomonodromique

Tout est dans le titre (ou presque). On s'intéressera ici au problème suivant : étant donné une connexion plate (un système intégrable) à pôles logarithmiques, comment peut-on déformer ce dernier sans modifier la façon dont il 'se comporte quand on s'amuse à faire des tours de pôles' ? Il est possible qu'une équation différentielle ou deux (voire une EDP) fassent leur apparition.

Vendredi 16 Mai, Julien Hauseux (Orsay)
Extensions entre séries principales p-adiques et modulo p d'un groupe réductif p-adique

Le but de cet exposé est d'introduire les différentes catégories de représentations p-adiques et modulo p d'un groupe réductif p-adique, ainsi que les foncteurs d'induction parabolique et des parties ordinaires. On étudiera plus particulièrement les séries principales et j'expliquerai comment calculer les extensions entre ces dernières.

Mercredi 21 Mai, Alessandro Sisto (Zurich)
Acylindrically hyperbolic groups

A (Gromov-)hyperbolic space is a geodesic metric space satisfying a simple condition on triangles. As it turns out, there are many groups that admit an "interesting" (acylindirical and non-elementary) action on a hyperbolic space, for example mapping class groups. Such groups are called acylindrically hyperbolic, and a lot has been shown about them in recent years. For example, any acylindrically hyperbolic group is SQ-universal, meaning that every countable group embeds in some of its quotients (and in particular it has uncountably many non-isomorphic quotients). I will give the relevant definitions, state some results and try to give an idea on how an action of a group on a hyperbolic space can be exploited to prove properties of the group.

Vendredi 23 Mai, Sam Derbyshire (London)
Topos. Exemples et applications

Originellement découverte en géométrie algébrique par l'école de Grothendieck, la théorie des topos donne un contexte naturel pour faire des mathématiques, plus général que la seule théorie des ensembles. Cela établit des liens forts entre la géométrie, la théorie des catégories, et la logique, nous permettant de faire des raisonnements mathématiques naturels, généralisant le fait que l'on puisse utiliser la notion d'éléments pour prouver le lemme du serpent (et autres résultats d'algèbre homologique). La seule distinction à faire, c'est que ce contexte s'apparente davantage aux systèmes de types que l'on trouve en programmation, qu'à une théorie des ensembles à la Zermelo. Étonnamment, ce contexte se prête très bien à une interprétation géométrique, permettant par exemple d'unifier diverses notions de changement de base, ou de donner de nouvelles justifications pour diverses constructions de topos que l'on rencontre en géométrie algébrique.

Mercredi 28 Mai, Alexandre Lemeur
Groupe \Theta et \Theta-structure d'une variété abélienne

On a vu lors du précédent exposé que la donnée d'une variété abélienne (projective par définition) dépendait d'un fibré ample qui fournit ce plongement projectif. En revanche, ce plongement dépend d'une base des sections globales de ce fibré. L'objet de l'exposé est de présenter la notion de \Theta-structure qui a pour but de rendre canonique le choix de cette base en s'appuyant sur le modèle complexe, c'est-à-dire en trouvant une section "privilégiée" (c'est la fonction \theta de Riemann dans le cas complexe) et en faisant agir le groupe de Heisenberg pour retrouver toutes les autres sections.

Mercredi 4 Juin, Basile Pillet
Structures (presque)-complexe, intégrabilité and stuff..

On peut munir un espace vectoriel sur R d'une "structure complexe" qui l'identifie à un espace vectoriel sur C de dimension moitié. Ce jeu d'algèbre linéaire élémentaire entre R-ev et C-ev se transpose aux variétés, en donnant naissance à un théorie très riche et très largement incomprise (on pourra facilement énoncer un problème ouvert de plus de 60 ans). Et … il y aura des dessins !

Mercredi 11 Juin, Christian Urech
Sur le groupe de Cremona

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l'espace projectif. En dimension deux ce groupe était déjà intensément étudié par les géomètres algébristes du 19ème siècle en Italie, mais beaucoup des problèmes classiques restaient ouverts. Récemment quelque progrès était obtenu, mais en dimension plus grande le groupe reste incompris. Je vais introduire le groupe de Cremona et expliquer quelques résultats, questions et aussi un peu d'histoire.

Mercredi 25 Juin, Pierre Karpman (INRIA-Nanyang Technological University)
Codes (hyper)-elliptiques, implémentations vectorielles et applications à la conception de primitives cryptographiques symétriques

Cet exposé présentera quelques applications de codes correcteurs issus de la géométrie algébrique à la cryptographie. On montrera notamment comment ceux-ci peuvent être utilisés pour définir des matrices de diffusion avec de bonnes propriétés et de relativement grande dimension sur de petits corps (par ex. de dimension 16 sur F_(2^4)). On présentera également des algorithmes vectoriels (dans le sens où ils utilisent certaines des instructions vectorielles « SIMD » fournies par les processeurs, telles les extensions SSE) permettant d’implémenter efficacement la multiplication d’un vecteur par ces matrices. Enfin, on discutera de l’utilisation du groupe d’automorphisme des codes pour chercher des matrices dont l’implémentation est particulièrement efficace.

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Année 2012 - 2013

Mercredi 3 Octobre, Antonia Wachter
Bounds for list decoding Gabidulin codes

Gabidulin codes are the analogs of Reed-Solomon codes in rank metric. However, it is not known so far whether a polynomial time list-decoding algorithm beyond half the minimum distance can exist or not. During this seminar, I will first give a short introduction to codes in rank metric and explain the motivation of bounding the list size when decoding beyond half the minimum distance.
Then, I will prove two bounds on the list size, one upper bound and one lower bound. The lower bound shows that polynomial list-decoding is not possible beyond a certain radius.

Mercredi 10 Octobre, Cécile le Rudulier
Les conjectures de Batyrev-Manin

À partir de la fin des années 1980, Manin et certains co-auteurs ont cherché à comprendre le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée d'une variété projective, ce qui les a amenés à énoncer plusieurs conjectures. Dans cet exposé, je ferai le point sur la notion de hauteur puis, je formulerai les conjectures telles qu'énoncées par Batyrev et Manin en 1990. Enfin, j'essayerai de donner un panorama des résultats obtenus depuis.

Mardi 17 Octobre, Gwezheneg Robert
Codes de Gabidulin généralisés

Les codes de Gabidulin utilisent la métrique rang et la notion de polynômes linéarisés. Une méthode de décodage repose sur le problème de reconstruction de tels polynômes. Tout cela se passe dans des corps finis.
Dans cet exposé, je présenterai une généralisation à des corps quelconques ainsi qu'une condition suffisante pour garantir les propriétés essentielles (codes MRD et décodage) et préciserai le cas des extensions de Kummer.

Mercredi 24 Octobre, Emmanuel Fouotsa
Un nouveau modèle d'Edwards de courbe elliptique avec arithmétique efficace

En 2007, Edwards a introduit un modèle de courbe elliptique défini en caractéristique impaire avec une loi de groupe non complète. Cette lacune sera comblée en 2008 par Bernstein et al. qui généralisent ce modèle. Toutefois ce modèle reste défini en caractéristique impaire. Entre 2008 et 2009, des modèles binaires vont être proposés mais la relation avec le modèle original reste mystérieuse. Dans cet exposé, je présente un nouveau modèle d'Edwards défini en toute caractéristique et qui étend bien le modèle original en caractéristique impaire. L'obtention de ce modèle et la loi de groupe se fait grâce aux fonctions théta. En particulier, notre modèle présente une arithmétique efficace et compétitive sur la ligne de kummer, comparativement aux autres modèles de courbes elliptiques.

Mercredi 7 Novembre, Tristan Vaccon
Algorithme F5 matriciel et évaluation de sa perte de précision. Application vers un calcul de base de Gröbner p-adique

Jean-Charles Faugère a proposé en 2002 un nouvel algorithme de calcul de bases de Gröbner dont le principe, étudié ensuite par Magali Bardet en 2004, est entièrement matriciel : l'algorithme F5 matriciel. Il se trouve à ce jour parmi les algorithmes les plus rapides pour le calcul d'une base de Gröbner. Après une présentation de cet algorithme, nous verrons qu'il peut être adapté pour étudier le calcul d'une base de Gröbner de polynômes connus de manière approchée, et en particulier, contrôler les pertes de précision dans ce calcul.
On s'intéressera plus particulièrement au cas du calcul d'une base de Gröbner sur Qp.

Mercredi 21 Novembre, Elise Goujard
Courbes de Teichmüller

Après avoir expliqué ce que sont les courbes de Teichmüller et leur utilité dans l'étude de la dynamique sur les surfaces plates, je donnerai un critère pour déterminer si une courbe plongée dans l'espace de module des surfaces de Riemann, munie d'un sous-fibré du fibré de Hodge, est une courbe de Teichmüller.

Mercredi 28 Novembre, Damien Davy
La sphère d'homologie de Poincaré

Nous verrons deux constructions de la sphère d'homologie de Poincaré : le diagramme de Heegard et la chirurgie de Dehn. Cet exemple aura permis à Poincaré de reformuler sa propre conjecture sur la sphére S3 en terme d'homotopie plutôt qu'en terme d'homologie.

Mercredi 5 Décembre, Viet Dang Nguyen
Une introduction à la théorie quantique des champs par les algèbres de Hopf

Cet exposé décrira le formalisme de la théorie quantique des champs développé par Brouder, Borcherds et faisant intervenir les algèbres de Hopf et la notion de Causalité. On montrera également comment retrouver les diagrammes de Feynman avec le formalisme des algèbres de Hopf.

Mercredi 12 Décembre, Sandrine Caruso
Les invariants de conjugaison

Le but de cet exposé est de présenter la notion d'invariant de conjugaison, dans les groupes de tresses. On verra comment ces invariants sont utilisés dans l'espoir de trouver un algorithme polynomial pour résoudre le problème de conjugaison dans les groupes de tresses, quelles sont les avancées actuelles à ce sujet, et les résultats positifs ou négatifs que l'on possède.

Mercredi 19 Décembre, Charles Savel

J'expliquerai ce qu'est une variété algébrique affine, qui est un objet géométrique défini par des équations polynomiales, et comment on peut définir un espace tangent à une telle variété.

Jeudi 24 Janvier, Adrien Le Boudec
Groupes agissant sur des arbres

Hyman Bass et Jean-Pierre Serre ont développé dans les années 70 une théorie ayant pour but de décrire la structure algébrique d'un groupe agissant sur un arbre. Cet exposé consistera en la description des deux exemples fondamentaux : il existe un dictionnaire entre produits amalgamés de groupes (resp. extensions HNN) et actions sur un arbre avec quotient un segment (resp. un lacet).
Nous expliquerons en particulier pourquoi SL(2,Qp) est un amalgame de deux copies de SL(2,Zp) et comment les groupes de Baumslag-Solitar agissent sur un arbre avec stabilisateurs cycliques.

Jeudi 31 Janvier, Romain Basson
Algèbre d'invariants des formes binaires en caractéristique positive

Le développement d'une algorithmique pour les espaces de modules de courbes hyperelliptiques (en petit genre) peut s'envisager via la théorie classique des invariants des formes binaires. La description et la construction effective de ces algèbres d'invariants en caractéristique nulle ont débuté dans la seconde moitié du XIXème siècle, donnant d'ailleurs naissance aux prémices de l'algèbre commutative, et culminé en 1967 avec les résultats de Shioda concernant les octiques (qualifiés de « tour de force » par Mumford !). En revanche, le cas de la caractéristique positive reste largement ouvert, notamment pour les octiques. Ainsi, après avoir donné un aperçu de la théorie classique, j'exposerai les résultats actuels concernant la caractéristique positive.

Jeudi 7 Février, Kodjo Kpognon
Module des dérivations d'une courbe algébrique affine sur un corps de caractéristique nulle

Si k est un corps de caractéristique nulle et X = Spec (A) une courbe algébrique affine définie par un polynôme f de k[x,y], alors un système générateur minimal du A-module des k-dérivations Derk (A) de X est de cardinal au plus 2. Si X admet des singularités quasi-homogènes, alors on a :
Derk (A) = A δn + A δe,
où δn est la dérivation naturelle de X et δe la dérivation de Euler de X.

Jeudi 21 Février, Gwezheneg Robert
Métrique rang et codes de Gabidulin en caractéristique zéro

Après avoir introduit les θ-polynômes et précisé plusieurs de leurs propriétés (notamment le lien entre leur degré et la dimension de l'espace des racines, ainsi que la construction d'un θ-polynôme s'annulant sur un espace donné), je donnerai 4 notions de métrique "rang". Nous verrons qu'il n'y a en fait que deux métriques distinctes, et que celles-ci sont égales sous une hypothèse raisonnable. Enfin, nous verrons comment généraliser les codes de Gabidulin (codes en métrique rang) à des corps de caractéristique nulle, ainsi qu'un algorithme de décodage qui se généralise également.

Remarque : J'ai déjà parlé de codes de Gabidulin au séminaire. Cet exposé reprend pour moitié le contenu du précédent. Ce qui est vraiment nouveau concerne les métriques rang. Néanmoins, les autres parties ont été complétées et certaines démonstrations ont été réécrites.

Mercredi 6 mars, Camille Horbez
Une invitation à la géométrie des groupes : le cas Out(Fn)

Je proposerai une brève introduction aux idées de la géométrie des groupes : comment déduire des propriétés algébriques d'un groupe à partir de l'étude de son action sur un espace topologique ? Je présenterai en particulier la construction de deux espaces naturellement associés au groupe Out(Fn) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre de type fini, et expliquerai comment l'étude de ces espaces peut nous aider à comprendre le groupe Out(Fn).

Jeudi 14 Mars, Sandrine Carruso
Autour de la généricité des tresses pseudo-Anosov

Les tresses peuvent être classifiées en trois types : périodiques, réductibles, et pseudo-Anosov. De manière expérimentale, il semblerait que « la plupart » des tresses soient pseudo-Anosov. Cette affirmation peut-être interprétée en plusieurs sens, et elle a été démontrée pour certains d'entre eux. Nous nous intéresserons dans cet exposé à l'interprétation suivante : on cherche à évaluer la proportion des tresses pseudo-Anosov dans la boule de rayon l du graphe de Cayley avec partie génératrice les tresses simples, et l'idéal serait de montrer que cette proportion tend vers 1 lorsque l tend vers l'infini. On ne sait pour l'instant démontrer qu'un résultat moins fort, qui est que cette proportion ne tend pas vers 0.
Cet exposé se veut abordable y compris pour les non-spécialistes de la théorie géométrique des groupes. Tous les termes techniques de ce résumé y seront explicités, et le plan général de la preuve formulé. Si le temps le permet, j'en détaillerai certains points.

Jeudi 21 Mars, Vincent Jugé
Une forme normale régulière pour les groupes de tresses

Les formes normales ayant des propriétés spécifiques (régulières, géodésiques) sont un outil puissant en combinatoire énumérative et en algorithmique des groupes. Nous présenterons et étudierons brièvement de telles propriétés. Puis nous nous intéresserons aux diagrammes de courbes, qui sont des représentations graphiques des tresses à l'origine de la construction d'une forme normale régulière pour les groupes de tresses.

Jeudi 28 Mars, Damien Davy
Exemples de solitons de Ricci

Jeudi 4 Avril, Arnaud Girand
Monodromie, variétés de caractères et cubique de Cayley

D'après Wikipédia, la monodromie est « l'étude du comportement de certains objets mathématiques lorsqu'on tourne autour d'une singularité ». Pour effectuer ce type de promenade, il peut être intéressant de jeter un œil aux groupes fondamentaux d'un certain nombre de surfaces « à trous » et plus particulièrement à leurs représentations.
Après avoir introduit par de grands mouvements de bras les notions de monodromie et de variétés de caractères, on s'intéressera à une famille de surfaces cubiques particulière qui apparaît dans l'étude de ces dernières avec une insistance que l'on pourrait qualifier de louche. Si le temps le permet, nous profiterons de la présence de ces surfaces pour y faire agir quelques groupes et regarder certains de leurs automorphismes.

Jeudi 18 Avril, Bruno Grenet
Algorithme de factorisation des polynômes lacunaires

Le problème de la factorisation des polynômes consiste à calculer, pour un polynôme donné, la liste de ses facteurs irréductibles avec leurs multiplicités. Les (nombreux) algorithmes classiques pour ce problème sont de complexité polynomiale en le degré du polynôme. Ils sont donc inadaptés aux polynômes lacunaires, c'est-à-dire de très haut degré mais avec peu de monômes non nuls.
Dans mon exposé, j'esquisserai les méthodes connues pour factoriser des polynômes lacunaires à coefficients dans un corps de nombres. Je présenterai ensuite une nouvelle approche, plus simple et plus générale car s'appliquant à un plus grand nombre de corps de base.
Mon exposé ne nécessitera aucun pré-requis d'informatique, le seul pré-requis étant de savoir ce qu'est un polynôme (et encore...).

Mercredi 22 Mai, Margot Bouette
Problème d'isomorphisme pour les groupes GBS

Un groupe de Baumslag-Solitar généralisé (appelé groupe GBS) G est un groupe agissant sur un arbre T avec des stabilisateurs d'arêtes et de sommets cycliques infinis, T est appelé arbre GBS. Le graphe quotient a une structure de graphe de groupes avec un marquage (une identification entre G et le groupe fondamental du graphe de groupes). L'ensemble de ces données peut être représenté dans un graphe étiqueté (graphe connexe dont toutes les arêtes orientées sont étiquetées par un entier non nul). Un groupe GBS peut admettre une ou plusieurs descriptions sous forme de graphe étiqueté.
Le problème d'isomorphisme pour les groupes GBS consiste à trouver un algorithme qui, étant donné deux graphes étiquetés, détermine si les groupes correspondants sont isomorphes.

Dans un premier temps, j'introduirai et définirai toutes les notions essentielles à la compréhension du problème d'isomorphisme pour les groupes GBS puis j'exposerai les principaux résultats amenant à la résolution de ce problème dans deux cas particuliers.

Jeudi 30 Mai, Basile Pillet
Un exemple de variété non-projective : le threefold de Nagata

Il y a toujours deux façons de décrire un objet géométrique : implicite (lieux des zéros d'une fonctions) ou paramétré. Passer de l'un à l'autre occupe les mathématiciens depuis très longtemps. Le fameux théorème des fonctions implicites, par exemple, ne sert qu'à ça. En géométrie algébrique le passage n'est pas toujours aussi simple.
En particulier, une variété algébrique sera (pour nous, pas pour Grothendieck) un recollement d'ouverts de Cn ayant « suffisamment » de fonctions méromorphes et une variété projective le lieu d'annulation de polynômes homogènes dans Pn. Les dernières sont des variétés algébriques et sont toujours compactes (fermées dans un compact).
La question c'est « Est-ce qu'une variété algébrique compacte est projective ? »
La réponse est oui en dimension 1 et quasi-oui en dimension 2. La variété de Nagata est un magnifique contre-exemple en dimension 3, je passerai la plus grande partie de l'exposé à essayer de la dessiner (ce qui est voué à l’échec car elle n'est pas projective) et si j'ai le temps je donnerai des idées pour démontrer la non-projectivité.

Jeudi 6 Juin, Arnaud Girand
Dynamique holomorphe sur certaines variétés de caractères

On commencera cet exposé en se ré-accointant avec une certaine famille de cubique, avant de les compactifier pour s'intéresser au comportement à l'infini de certains de leurs automorphismes. On pourra profiter de l'occasion pour parler un peu de quelques transformations du disque de Poincaré. Enfin, nous mettrons en application les outils de la dynamique complexe à une certaine classe d'opérateurs de Schrôdinger discrets.
Cet exposé ne pré-requiert pas d'avoir assisté à la précédente itération des élucubrations de l'orateur.

Jeudi 13 Juin, Yvan Ziegler
De la conjecture de Weil à des algorithmes de comptage de points sur des courbes algébriques

Je commencerais par quelques petits rappels sur les courbes algébriques et les fonctions zêta associées. Ensuite j'en viendrais à la conjecture de Weil dans le cas des courbes algébriques; j'expliquerais avec les mains une idée de la preuve (mais ça restera TRÈS informel, pas de schéma, pas de Grothendieck...). Finalement, à partir de ça, j'exposerais l'idée d'algorithmes à la Kedlaya qui calculent les fonctions zêta des courbes, et donc en particulier les cardinaux des courbes et de leur Jacobiennes.

Jeudi 20 Juin, Quentin Gendron
Surfaces plates : un concept qui dégénère

Dans mon exposé je définirai la notion de surface plate de plusieurs points de vue. Cela me permettra de « définir » l'espace de module des surfaces plates, et certaines notions associées : sa compactification de Deligne-Mumford et sa stratification par le type de surface plate. Je finirai en présentant certaines relations entre la compactification et la stratification pour les surfaces de genre trois.

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Année 2011 - 2012

Mercredi 21 Septembre, Damian Brotbek
Equations différentielles et plongements projectifs

Étant donnée une variété projective lisse X, il est naturel de se demander quelle est la dimension du plus petit espace projectif dans lequel on peut plonger X. Tout d'abord, je rappellerai ce que l'on peut dire de ce problème pour une variété X quelconque. Ensuite, je montrerai en quoi l'existence de certaines équations différentielles sur X est une obstruction à l'existence de certains plongements projectifs.

Mercredi 28 Septembre, Jérémy Le Borgne
Phi-modules et polygones de Newton

Je présenterai les notions de polynômes tordus et de phi-modules, ainsi que les liens entre elles. J'expliquerai ensuite comment, dans le cas des phi-modules sur un corps de séries formelles, on peut comprendre une filtration du phi-module par ses pentes en termes de pentes du polygone de Newton d'un polynôme tordu.

Mercredi 5 Octobre, Tristan Vaccon
Bases de Gröbner et calcul effectif sur les idéaux de k[X_1,..,X_n] (1ère partie)

Avec l'algorithme d'Euclide et le calcul du pgcd, les questions de l'appartenance à un idéal ou du calcul d'un générateur de l'intersection de deux idéaux dans k[X] sont faciles. Nous allons voir que ces questions peuvent aussi être résolues dans le cas de k[X_1,...,X_n], bien qu'il ne soit ni euclidien, ni même principal. Pour cela, on développera les premiers éléments de la théorie des bases de Gröbner, et on verra que c'est l'outil par excellence du calcul effectif sur k[X_1,...,X_n]. Dans cette première séance, on verra ce qu'est une base de Gröbner, et comment elle peut être calculée. Ceci nous permettra de donner un algorithme permettant de décider de l'appartenance d'un polynôme de k[X_1,...,X_n] à un idéal donné. Au passage, on aura montré, par l'existence des bases de Gröbner, le caractère noethérien de k[X_1,...,X_n].

Mercredi 12 Octobre, Tristan Vaccon
Bases de Gröbner et calcul effectif sur les idéaux de k[X_1,..,X_n] (2ème partie)

Ayant construit l'outil que sont les bases de Gröbner, nous avons pu répondre, dans le précédent exposé, à la question de l'appartenance à un idéal donné de k[X_1,...,X_n]. Dans ce second exposé, nous allons considérer des questions plus compliquées. Nous verrons comment on peut, en travaillant avec les bases de Gröbner, faire de l'élimination, calculer l'intersection de deux idéaux, un quotient d'idéaux, la dimension d'un idéal et, pour finir, si le temps le permet, le radical d'un idéal (en caractéristique nulle), et peut-être une ouverture vers la théorie des invariants effective, sujet d'un futur exposé.

Mercredi 19 Octobre, Cécile Le Rudulier
Hauteurs sur l'espace projectif, Théorème de Northcott

Après avoir défini la hauteur usuelle d'un point algébrique de l'espace projectif, je montrerai le théorème de Northcott, qui nous dit que le nombre de points algébriques de hauteur et de degré bornés est fini.   Ce théorème mène à l'étude du comportement asymptotique du nombre de points algébriques de hauteur bornée, lorsque cette borne tend vers l'infini; j'en présenterai les résultats connus.

Mercredi 9 Novembre, Charles Savel
Groupe fondamental étale

Etant donné un espace topologique connexe ayant de bonnes propriétés, le groupe fondamental « classique » classifie ses revêtements topologiques. De la même manière, on aimerait classifier les revêtements étales d'un schéma connexe, et le groupe fondamental étale répond à ce problème. J'expliquerai ce qu'est un revêtement étale, l'analogue en géométrie algébrique des revêtements topologiques, ce qu'on entend par « classifier des revêtements », et très rapidement comment on construit le groupe fondamental étale. Je terminerai en expliquant ce qu'on obtient dans le cas du spectre d'un corps et d'une courbe projective lisse complexe.

Mercredi 16 Novembre, Jeroen Sijsling
Dessins d'enfants et formes modulaires

Les dessins d'enfants sont des revêtements de la droite projective ramifiés en seulement trois points. Comme suggéré par le nom, ils sont dans un sens faciles à décrire : chaque dessin sur un objet topologique fournit un tel revêtement. D'un autre côté, étant donné un dessin, il n'est pas très facile de déterminer une formule pour le revêtement correspondant.

Cet exposé indiquera comment faire ces calculs, et montrera aussi les liens entre dessins d'enfants et calcul explicite de formes modulaires pour certains sous-groupes discrets de SL2(R).

Mercredi 23 Novembre, Elise Goujeard
Surfaces de translation

Ma motivation sera l'étude de la dynamique dans certains billards polygonaux, c'est-à-dire l'étude d'une trajectoire à long terme d'une boule de billard sur une table en forme de polygone. J'introduirai la notion de surfaces de translation et leur espace de module associé, et j'essaierai de faire apparaitre le lien entre la dynamique du billard et la dynamique du flot géodésique sur l'espace de modules associé, et pour cela je parlerai d'exposants de Lyapunov (si le temps le permet)

Mercredi 30 Novembre, Romain Basson
Algèbre d'invariants pour les courbes hyperelliptiques

Afin de décider si deux courbes elliptiques sont isomorphes, on dispose d'un critère numérique classique : le j-invariant. Il est naturel de chercher à obtenir de tels invariants pour des courbes de genre supérieur. Je m'intéresserai plus spécifiquement au cas des courbes hyperelliptiques, pour lesquelles j'exposerai les outils permettant la construction effective d'algèbre d'invariants (ce qui permettra au passage de retrouver les résultats concernant les courbes elliptiques).

Mercredi 7 Décembre, Matthieu Legeay
Les codes de Reed-Muller et leur groupe de permutations

Des Fonctions booléennes aux codes de Reed-Muller, il n'y a qu'un pas ! Je vous propose un rapide rappel sur la théorie des codes correcteurs d'erreur avant de s'intéresser aux codes de Reed-Muller. Ce sont des codes bien connus et très faciles à décoder. Ils ont de plus l'avantage de posséder un bon groupe de permutations. Voyons comment on peut utiliser ces permutations sur les mots du code pour former de nouveaux sous-codes.

Mardi 10 Janvier, Sandrine Caruso
Combinatoire du point de croix

Dans cet exposé, j'expliquerai une technique de broderie classique : le point de croix, et je m'intéresserai à la question de minimiser la quantité de fil utilisée. J'exposerai le cas des dessins 4-connexe (notion que je définirai), pour lequel le problème est résolu. Si le temps le permet, j'évoquerai ce que l'on peut dire (et ne pas dire) au sujet de cas plus généraux.

Mardi 17 Janvier, Fabien Priziac
Suite spectrale et homologie équivariante

Introduites par Jean Leray en 1946, les suites spectrales constituent un outil très puissant de calcul homologique, utilisé aujourd'hui dans de nombreux domaines. On peut concevoir une suite spectrale comme un livre dont chacune des pages est calculée à partir de la précédente et dont la dernière nous donne non seulement l'homologie que l'on cherchait à calculer par ce biais mais nous permet également de mieux la comprendre. Dans cet exposé, j'introduirai les définitions et propriétés de base des suites spectrales, mais j'essaierai de passer assez vite à des exemples de calculs concrets, géométriques, visuels, notamment celui de l'homologie équivariante de variétés munies d'une action de groupe via la suite spectrale de Hochschild-Serre.

Mardi 24 Janvier, Kodjo Kpognon
Introduction à la notion de schéma des arcs tracés sur une variété algébrique et théorème d'irréductibilité de Kolchin

Nous énonçons et démontrons le théorème d'irréductibilité de Kolchin sans recourir à l'existence d'une résolution des singularités en caractéristique nulle, mais en transcrivant dans le langage de la géométrie algébrique moderne, l'énoncé et la preuve d'algèbre différentielle d'origine fournissant ainsi une démonstration élémentaire du théorème d'irréductibilité de Kolchin dont voici l'énoncé :
Théorème d'irréductibilité de Kolchin. Soient k un corps de caractéristique nulle et I un idéal de k[x1,...,xn]. Si I est premier, alors l'idéal différentiel réduit {I} engendré par I est un idéal différentiel premier de k{x1,...,xn}.

Mardi 31 Janvier, Carl Tipler
Déformations des variétés kählériennes toriques à courbure scalaire constante

Soit (X,g) une variété kählérienne torique à courbure scalaire constante (CSC). On s'intéresse à l'existence de métrique CSC sur des petites déformations complexes X' de X. On montre que l'on peut réduire ce problème à un calcul de stabilité au sens GIT sur l'espace des déformations infinitésimales H1(X,TX). Dans le cas torique, on calcule explicitement ce critère ce qui fournit de nouveaux exemples de variétés kählériennes CSC.

Mardi 28 Février, Basile Deloynes
Autour de la moyennabilité

Dans cette introduction à la moyennabilité, j'expliquerai comment le paradoxe de Banach-Tarski est lié à la non moyennabilité du groupe libre sur deux générateurs. Dans un deuxième temps, je donnerai le cadre théorique de la moyennabilité ainsi que des exemples de groupes moyennables et non moyennables.

Mardi 6 Mars, Arnaud Moncet
Un exemple de difféomorphisme birationnel du tore

 

Soit X la surface rationnelle réelle P1 × P1. Je vais montrer comment construire un difféomorphisme birationnel f de X — c'est-à-dire un difféomorphisme de X(R) qui se prolonge en une application birationnelle sur X(C) — qui possède les propriétés suivantes :

  • f est conjugué à une rotation sur le tore X(R), ainsi que sur un voisinage de X(R) dans X(C) ;
  • f possède cependant une dynamique riche sur X(C).

Cette construction est assez similaire à celle due à Herman d'un endomorphisme réel de P1 de degré d > 1 qui est conjugué à une rotation sur un voisinage de P1(R) dans P1(C).

Mardi 13 Mars, Jérémy Le Borgne
Polynômes tordus sur les corps finis

L'anneau des « polynômes tordus » sur un corps fini est un anneau de polynômes non commutatif qui n'est pas un anneau factoriel, mais dans lequel il existe des factorisations en produits d'irréductibles. Ore, qui a étudié ces anneaux le premier, a donné un analogue de « l'unicité de la factorisation » via la notion de similarité. En 1998, Giesbrecht a donné un algorithme efficace de factorisation de ces polynômes. Je présenterai un autre algorithme, plus efficace, pour la factorisation des polynômes tordus sur un corps fini.

Mardi 20 Mars, Elise Goujard
Application période et monodromie

Après avoir expliqué comment apparait l'application période dans le problème des billards, j'en donnerai la définition sur l'espace de déformation des surfaces de Riemann, et les propriétés sur l'espace des courbes elliptiques en particulier. Je ferai le lien avec la notion de monodromie sur cet espace.

Mardi 27 Mars, Dimitri Todorov

Mardi 3 Avril, Jérémy Le Borgne
Soutenance de Thèse : Représentations galoisiennes et phi-modules : aspects algorithmiques

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Année 2010 - 2011

Mardi 5 Octobre, Mathilde Herblot
Courbes elliptiques

On s'intéressera aux points de torsion d'une courbe elliptique.

Mardi 12 Octobre, Sandrine Caruso
Présentation du groupe de tresses étendu

Mercredi 20 Octobre, Damian Brotbek
Une petite introduction à l'hyperbolicité

Dans cet exposé, je vais essayer d'expliquer un peu ce qu'est l'hyperbolicité en géométrie complexe. Je parlerai aussi d'espace de jets, de calcul d'intersection, et de positivité de diviseur, le but principal étant d'introduire les notions dont je vais avoir besoin dans la séance suivante.

Mardi 2 Novembre, Damian Brotbek
Une petite introduction à l'hyperbolicité (suite)

Mercredi 3 Novembre, Sabine Burgdorf (Université de Constance)
Le problème des moments traciaux

Le problème des moments traciaux demande à la caractérisation des formes linéaires traciales, qui sont données par des moments traciaux d'une mesure de probabilité sur des matrices symétriques de taille fixée. Il est le problème dual du problème de la caractérisation des polynômes à trace positive. Certains résultats concernant le problème classique des moments peuvent être reformulés dans le contexte tracial. Concrètement, après une introduction qui revoit le problème classique des moments je présente le problème des moments traciaux ainsi que des versions traciales de théorèmes de Stochel, de Haviland, et de Curto et Fialkow.

Mardi 9 Novembre, Julien Dhondt
Recollement de fonctions analytiques sur un corps local

On considère un corps K ultramétrique\A0complet. K^r est muni de la norme infinie et on note D son disque unité. Une fonction analytique (au sens fort) sur D sera, ici, une application de D dans K, globalement somme d'une série entière. Or D peut être recouvert par des boules ouvertes disjointes de rayon strictement inférieur à 1 (propriété topologique des espaces vectoriels normés ultramétriques). Un tel recouvrement ne permet pas de\A0\AB\A0recoller \BBles fonctions analytiques. Cette notion d'analycité n'est donc pas de nature locale. On peut cependant mettre en évidence certaines classes de recouvrements ouverts du disque unité possédant une propriété de recollement, c'est à dire permettant de recoller les fonctions comme en géométrie complexe, ainsi que le montre Tate.

Mercredi 17 Novembre, Clément Dunand
Maths et Musique

beaucoup moins profond et théorique que les précédents, cet exposé est tiré d'un petit complément proposé dans un cours de L2 biologie. Je vous raconterai les fondements arithmétiques de la gamme ainsi que le principe des harmoniques dans un signal sonore...tout en veillant à ce qu'il n'y ait aucun prérequis musical à la bonne compréhension de l'exposé.

Mercredi 24 Novembre, Anna Morra
Comptage asymptotique d'extensions cubiques avec résolvante quadratique fixée

Soit k un corps de nombres et K_2 une extension quadratique de k. Je vais montrer comment on trouve une formule asymptotique pour le nombre de classes d'isomorphisme des extensions cubiques K de k telles que la clôture de Galois de K/k contient K_2 comme sous-extension quadratique. L'outil principal est la théorie de Kummer. On pourra retrouver aussi le cas des extensions cycliques cubiques (correspondant à K_2 = k) comme cas particulier.

Mardi 30 Novembre, Jérémy Le Borgne
Un peu d'analyse p-adique

J'expliquerai les bases de l'analyse p-adique, en expliquant la construction des corps p-adiques ainsi que les propriétés topologiques associées, et quelques résultats sur la structure des espaces fonctionnels.

Mardi 14 Décembre, Xavier Caruso
Fractions continues et construction de gammes musicales

Cet exposé fait suite à l'exposé de Clément intitulé "Maths et musique". On y voit comment un développement en fractions continues permet de retrouver et de comprendre différemment les nombres de notes intervenant dans les gammes utilisées par les musiciens.

Jeudi 13 Janvier, Fabien Priziac
Filtration par le poids pour les variétés algébriques réelles

En 1972, Pierre Deligne associe à toute variété algébrique complexe une filtration dite par le poids sur la cohomologie rationnelle de la variété. En 2008, Clint McCrory et Adam Parusinski ont montré le pendant réel de ce résultat en prouvant l'existence d'une filtration par le poids pour toute variété algébrique réelle. Cet exposé reprendra pour la plus grande part la première partie de leur article consacré à ce dernier résultat et, si le temps le permet, je parlerai de mon travail en cours, à savoir la recherche d'une filtration par le poids "équivariante" pour toute variété algébrique réelle munie d'une action d'un groupe fini par isomorphismes algébriques.

Jeudi 20 Janvier, Sandrine Caruso
Pavages hyperboliques et surfaces fermées de genre >1

Dans cet exposé, on décrira les pavages réguliers du plan hyperbolique, puis on verra comment utiliser de tels pavages pour munir des surfaces de genre supérieur ou égal à 2 d'une métrique hyperbolique.

Jeudi 27 Janvier, Matthieu Legeay
Codes correcteurs d'erreurs

Bienvenue dans le monde merveilleux des codes correcteurs d'erreurs : après un bref mais suffisant rappel sur les généralités des codes correcteurs, je vous présenterai différentes classes de tels codes avec les particularités/avantages/inconvénients de chacun. Un voyage au pays des corps finis !

Mercredi 23 Février, Matthieu Calvez
Des tresses en bon ordre

P. Dehornoy a montré dans les années 90 que le groupe des tresses Bn est ordonnable à gauche. On discutera quelques propriétés de cet ordre, notamment le caractère bien ordonné du monoïde des tresses positives Bn+.

Jeudi 3 Mars, Christophe Wacheux
La méthode du chemin de Moser en géométrie symplectique et ses applications

En géométrie symplectique, comme dans d'autres domaine de géométrie différentielle on est souvent intéressé de savoir si deux variétés, accompagnées de structures supplémentaires, sont équivalentes, c'est à dire s'il existe un difféomorphisme préservant ces structures. Dans le cas de la géométrie symplectique, la méthode du chemin de Moser consiste à chercher ce difféomorphisme comme le flot au temps 1 d'un certain champ de vecteurs, qu'il s'agit ensuite de déterminer. Dans l'exposé, après un bref rappel de géométrie symplectique nous présenterons d'abord le principe de cette méthode de déformation isotopique. Dans un deuxième temps, nous montrerons comment cette méthode intervient dans la démonstration de beaucoup de résultats de géométrie symplectique. Si j'ai le temps, je tenterai de vous montrer l'utilisation que j'en ai faite dans un papier en cours de soumission.

Vendredi 11 Mars, Enno Kessler (Leipzig)
Supermécanique

Enno nous a présenté les bases de la supermécanique, qui formalise la symétrie qui existe entre mécanique classique et mécanique quantique

Mercredi 16 Mars, Thierry Limoges (Nice)
Ensembles symétriques par arcs

Thierry nous a présenté la notion d'ensemble symétrique par arcs, qui donne une notion plus fine que celle de composantes connexes pour comprendre la structure d'une variété algébrique réelle.

Jeudi 28 Avril, Sandrine Caruso
Algorithme de Dynnikov-Wiest et spirales

Je présenterai l'algorithme de Dynnikov-Wiest, qui permet, étant donné un diagramme de courbes sur le disque à n trous, de retrouver la tresse qui l'a généré. Puis je présenterai l'action de cet algorithme sur les spirales, et si le temps le permet, donnerai un aperçu de résultats que l'on espère obtenir.

Jeudi 19 Mai, Noël Le Du
Soutenance de Thèse

Titre : Hessien de la forme métrique sur les espaces de twisteurs

Jeudi 26 Mai, Luca De Feo
Multiplication complexe

Mercredi 1er Juin, Arnaud Moncet
Comparaison entre la longueur des courbes réelles et l'aire des courbes complexes  sur les surfaces algébriques définies sur R.

Lorsque C est une courbe algébrique sur une surface algébrique réelle X, on cherche à comparer sa longueur avec l'aire de la courbe complexe sous-jacente (pour une métrique kählérienne fixée sur la surface complexe X(C)). Cela nous conduit à associer à X un nombre compris entre 0 et 1, appelé concordance de X. Ce nombre vaut 1 lorsque le nombre de Picard est égal à 1, ainsi que pour les surfaces qui ont un cône des courbes "assez simple"', par exemple les surfaces de Del Pezzo. Pour les surfaces abéliennes, il vaut 1/2 ou 1, selon que X possède des automorphismes d'entropie positive ou non. Dans le cas général, lorsqu'il existe sur X un tel automorphisme f, la concordance est majorée par le rapport des entropies de f sur X(R) et sur X(C) : cela provient d'un théorème de Yomdin, qui majore l'entropie par le taux de croissance de la longueur des itérés d'une courbe. De plus, cette majoration devient une égalité pour les surfaces de nombre de Picard 2 : on utilise pour cela un résultat de Katok, qui approche l'entropie sur une surface en restreignant la transformation à des sous-ensembles bien choisis (des fers à cheval). Si j'ai le temps, je donnerai aussi quelques conséquences de ces résultats.

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Année 2009 - 2010

Mercredi 30 Septembre, Damian Brotbek
Variétés à fibré cotangent ample

Résumé : Je vais parler de variétés projectives à fibré cotangent ample, en particulier d'une conjecture d'Olivier Debarre qui prédit que certaines variétés intersections complètes ont un fibré cotangent ample. Je vais expliquer comment d'un point de vue numérique (conditions de positivité pour les classes de Chern) cette conjecture est vérifiée.

Mercredi 7 Octobre, Fabien Priziac
Le groupe de Grothendieck des variétés algébriques

Résumé : Le groupe de Grothendieck des k-variétés est le groupe abélien libre engendré par les classes d'isomorphismes des k-variétés auquel on impose une certaine relation. Après un bref rappel sur les éclatements, je vous parlerai d'un théorème dû à Franzisca Bittner qui nous donne une présentation différente de ce groupe de Grothendieck basée justement sur ces éclatements. Ce théorème a plusieurs applications, notamment en géométrie algébrique réelle, nous permettant de définir des nombres de Betti virtuels et un polynôme de Poincaré virtuel pour une variété réelle quelconque.

Mercredi 14 Octobre, Jeremy Le Borgne
à propos de phi-modules

Résumé : Les phi-modules sont des objets qui interviennent naturellement dans l'étude des représentations galoisiennes p-adiques. J'expliquerai ce qu'est un phi-module, et je présenterai un théorème de classification. Je montrerai comment mettre en oeuvre cette classification algorithmiquement, et ce que cela permet de comprendre sur les représentations.

Mercredi 21 Octobre, Matthieu Legeay
Codes correcteurs et cryptanalyse du système de McEliece

Résumé : Afin de se prémunir des progrès dans le domaine de la factorisation, la cryptographie à clef publique a besoin de nouveaux problèmes difficiles. Le cryptosystème de McEliece est une alternative intéressante utilisant la théorie des codes correcteurs. Je ferai donc un rappel sur cette théorie et expliquerai le principe du système de McEliece ainsi qu'une chronologie des attaques qui lui ont été portées.

Mercredi 4 Novembre, Christophe Chabot
Codes quasi-cycliques annulés par des polynômes à coefficients matriciels.

Résumé : Les codes \ell-quasi-cycliques sont des codes stables par l'action du décalage circulaire de \ell positions. Ils sont en fait une généralisation des codes cycliques (\ell = 1). On s'intéresse ici à des codes \ell-quasi-cycliques de longueur n = \ell m sur F_q. Notre motivation est de généraliser les résultats obtenus avec les codes cycliques tels que la génération par des polynômes et la caractérisation du code dual. On sait que les codes cycliques peuvent être vus comme engendrés par des polynômes C = <g(X)>. De plus un des résultats importants est la caractérisation facile du dual. En effet, C^\perp = <h(X)> si X^n - 1 = g(X)h(X) (où h* désigne le polynôme réciproque de h). Nous faisons agir l'anneau des polynômes à coefficients matriciels M_\ell(Fq)[X] sur les mots d'un code quasi-cyclique vivant dans (F_q)^{\ell m} . De cette manière, on construit des codes quasi-cycliques annulés par des polynômes (C = \Omega(P)). On obtient aussi un résultat analogue à celui des codes cycliques (\Omega(P)^\perp=\Omega(^tQ*) dans le cas Euclidien et \Omega(P)^\perp=\Omega(\theta(^tQ*)) dans le cas Hermitien). Grâce à ces résultats, nous avons pu construire effectivement des codes autoduaux Euclidiens et Hermitiens. Leur construction est obtenue par résolution d'une base de Groebner. A cause de cela, on ne peut pas atteindre de grandes longueurs de codes. Cependant, dans de nombreux cas, on obtient les meilleures distances minimales connues et dans certains cas, on les dépasse.

Mercredi 18 Novembre, Fabrice Castel
Représentations géométriques des groupes abéliens libres et groupes de tresses

Résumé : Je commencerai par définir le mapping class group (Dehn et Nielsen, années 1920) d'une surface orientable, puis en guise d'exemple de la classification de Nielsen-Thurston des difféomorphismes, je décrirai les plongements des groupes abéliens libres dans le mapping class group (Birman, Lubotzky, McCarthy, 1983). Dans un deuxième temps, je définirai le groupe de tresses (Artin 1925), je donnerai un exemple de plongements du groupe de tresses dans le mapping class group, puis un théorème général donnant les morphismes du groupe de tresses dans le mapping class group (C. 2009). Comme premiers corollaires, on retrouve les calculs des groupes d'automorphismes du groupe de tresses (Dyer et Grossman, 1981) et du mapping class group (Ivnov et McCarthy, 1999).

Mercredi 25 Novembre, Fabrice Castel
Représentations géométriques des groupes abéliens libres et groupes de tresses (suite et fin)

Mercredi 2 Décembre, Jérémy Le Borgne
Permutations aléatoires

Résumé : En considérant quelques problèmes (plus ou moins) amusants, je donnerai des résultats sur les lois de certaines variables associées à des permutations aléatoires (nombre d'orbites, ordre...). Nous verrons que, peut-être contre toute attente, les lois asymptotiques sont bien connues et assez simples.

Mercredi 9 Décembre, Lionel Chaussade
Théorie de Ramsey

Résumé : Je parlerai de théorie de Ramsey en débutant par le problème simple suivant : dans une assemblée de 6 personnes, il y a un groupe de 3 personnes qui se connaissent mutuellement ou un groupe de 3 personnes qui ne se connaissent pas. Nous verrons la généralisation de ce résultat ainsi qu'une vison géométrique à l'aide de graphes. Je parlerai de plusieurs aspects de la théorie de Ramsey ainsi que des théorèmes étonnants qui en découlent. Si j'ai le temps je démontrerai aussi que dans un groupe de 3 personnes, 2 ont le même sexe.

Mercredi 6 Janvier, Christophe Wacheux
Pour une classification des systèmes hamiltoniens

Résumé : La géométrie symplectique est progressivement apparue au XXe siècle, à partir d'une reformulation de la mécanique newtonienne, la mécanique hamiltonienne. Ses contributions aux diverses branches des mathématiques et de la physique théorique dans la deuxième partie du siècle précédent ont été spectaculaires, notamment en théorie des cordes, via les invariants de Gromov-Witten.
Je ferai une introduction à la géométrie symplectique, ses origines, sa formulation moderne. Dans la foulée, je parlerai de systèmes hamiltoniens intégrables, de leur classification. Je finirai alors sur les fonctions et les polytopes moments, et j'espère avoir le temps d'ouvrir sur mon sujet de thèse (les systèmes intégrables semi-toriques et les polytopes moment).

Mercredi 13 Janvier, Christophe Wacheux
Pour une classification des systèmes hamiltoniens (suite et fin)

Mercredi 20 Janvier, Matthieu Calvez
Théorie de Garside dans les groupes de tresses

Résumé : Garside a publié en 1969 un article dans lequel il expose un algorithme pour résoudre le problème du mot et le problème de conjugaison dans $B_n$ ; hormis de nombreuses améliorations techniques la philosophie des algorithmes utilisés aujourd'hui pour résoudre ces problèmes est essentiellement la même que celle de Garside. J'en donnerai un aperçu en mentionnant quelques améliorations et généralisations.

Mercredi 27 Janvier, Clément Dunand
Le jeu de solitaire

Résumé : Clément nous a parlé du jeu de solitaire (avec une méthode de résolution efficace !), puis de plusieurs variantes avec des conditions nécessaires d'irrésolubilité, avant de conclure avec le spectaculaire "problème des soldats".

Mercredi 3 Février, Clément Dunand
Les polynômes cyclotomiques au service de la cryptographie

Résumé : Les polynômes cyclotomiques intriguent, fascinent. Voilà plus d'un siècle qu'on observe et explique d'étonnantes propriétés arithmétiques sur leurs coefficients. Plus récemment même la structure et les propriétés de leurs inverses a été étudiée. C'est la magnitude et parfois la répartition de leurs coefficients qui est le coeur du débat. Après avoir rappelé un historique de ces travaux je montrerai comment nous sommes arrivés à nous poser des questions sur les inverses modulaires de ces polynômes et notamment comment ils sont apparus dans le contexte cryptographique de ma thèse. Je pourrai alors vous présenter plus précisément quelques propriétés sur les coefficients de ces inverses et je conclurai en expliquant les applications que nous leur avons pour l'instant trouvées en cryptographie.

Mercredi 10 Février, Clément Dunand
Les polynômes cyclotomiques au service de la cryptographie

Mardi 16 Février, Gaël Cousin
L'algorithme de Zariski-Van Kampen

Résumé : Je présenterai l'algorithme de Zariski-Van Kampen pour le calcul du groupe fondamental du complémentaire d'une courbe dans P^2(C)

Mardi 16 Mars, Arnaud Moncet
Enchères, Bertsekas et Kantorovitch

Résumé : Nous parlerons de stratégies pour le transport optimal, et de l'algorithme d'enchères de Kantorovitch

Mardi 27 Avril, Gaël Cousin
Connexions plates​​​​​​​

Mardi 11 Mai, Fabrice Castel
Cohomologie des groupes​​​​​​​

Mardi 25 Mai, Jérémy Le Borgne
Suites de Farey, pavage de Farey et développement en fractions continues

Résumé : La n-ème suite de Farey est formée de l'ensemble des rationnels sous forme réduite entre 0 et 1, dont le dénominateur est plus petit que n. Ces ensembles sont notamment liés aux développements en fractions continues. Je présenterai une approche géométrique assez élégante de ce lien.

Mardi 1er Juin, Viviana Delanoy 
Critères de supersingularité

Résumé : Les variétés supersingulières intéressent les cryptographes et il est bon de savoir les reconnaître, je donnerai différents critères permettant de le faire.

Mardi 8 Juin, Fabrice Castel
Cohomologie des groupes (II)​​​​​​​

Résumé : Suite de l'exposé introductif à la cohomologie des groupes du 11 mai 2010.

Mardi 15 Juin, Lionel Chaussade
Autour du problème de Hadwiger-Nelson

Résumé : Cet exposé tournera autour du problème de Hadwiger-Nelson : quel est le nombre minimal de couleurs qu'il faut pour colorier le plan afin que 2 points à distance 1 ne soient jamais de la même couleur? Je donnerai de nombreux exemples et contre exemples. Nous verrons également que l'axiome du choix peut intervenir dans ce genre de problème donnant des résultats assez surprenants.

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Année 2008 - 2009

Mercredi 17 Septembre, Daniel Plaumann, Tim Netzer
Positivity and sum of squares

Abstract : We discuss algebraic characterisations of positivity for polynomials in several variables. Several basic concepts and results will be illustrated by means of an elaborate example.

Mercredi 24 Septembre, Lionel Chaussade
La loi de Benford

Résumé : Il est étrange de remarquer qu'il y a 6 fois plus de 1 que de 9 comme premier chiffre significatif de la suite des puissances de 2, de 3, de Pi, de la suite de Fibonacci, de la suite des carrés, des factorielles, des nombres de la bourse, du nombre d'habitants des communes françaises...
Je vais essayer d'expliquer pourquoi !

Mercredi 1er Octobre, Sabine Burgdorf
Almost non-commutative sums of squares

Abstract : It is well known that a binary polynomial with real coefficients which is nonnegative on \(R^2\) is a sum of squares of polynomials. Helton proved in 2002 that a polynomial in non commuting variables with real coefficients which is "matrix-positive" is a sum of (hermitian) squares of non commuting polynomials. What happens if we allow some commutativity, i.e., if we allow cyclic permutations of the non commuting variables? First of all, a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations is not necessarily matrix-positive but the trace is non negative whenever we replace the variables X and Y by symmetric matrices A,B of arbitrary size.
On the basis of the BMV conjecture, which will be explained in the talk, we will describe a method to test numerically if a polynomial is a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations, and present some results. Further we will show that "trace-positivity" is in general not sufficient for a polynomial to be a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations.

Mercredi 8 Octobre, Jonathan Marco
Un modèle de billard plan

Résumé : On étudie le comportement d'une bille dans un billard plan muni d'obstacles disposés périodiquement. On étudie la minimalité, la récurrence et l'ergodicité en fonction des paramètres du problème.

Mercredi 15 Octobre, Thierry Limoges
Structure de Hodge mixte sur la fibre de Milnor

Résumé : Je parlerai de décomposition de Hodge sur la cohomologie de De Rham d'une variété complexe, définirai la notion de structure de Hodge mixte, la fibre de Milnor, la monodromie. Avec des exemples bien sûr. 

Mercredi 22 Octobre, Noura Okko
Le polynôme minimal d'une des solutions algébriques d'une équation différentielle linéaire homogène de degrè 2

Résumé : Le groupe de Galois d'une équation différentielle linéaire homogène de degré n L agit naturellement sur l'espace des solutions de L. D'après cette action on va définir les invariants et les semi-invariants de G. On va exprimer le polynôme minimal d'une solution en fonction des invariants et semi-invariants dans le cas où n=2 et toutes les solutions de L sont algébriques. 

Mercredi 5 Novembre, Jérémy Le Borgne
Autour du théorème d'Ax-Sen-Tate

Résumé : Soit p un nombre premier, Qp le corps des nombres p-adiques. Cp est le complété de sa clôture algébrique \(\bar{\Q_p}\). Si L est une extension finie de Qp, On fait agir par continuité le groupe de Galois de \(\bar{\Q_p}/L\) sur Cp, et on s'intéresse aux points fixes de Cp sous cette action. Le théorème d'Ax-Sen-Tate affirme que c'est exactement L. Je présenterai l'approche d'Ax et celle de Tate, qui sont sensiblement différentes, et j'expliquerai comment il est peut-être possible d'améliorer le résultat d'Ax qui conduit à la démonstration de ce théorème, en adaptant les idées de Tate. 

Mercredi 12 Novembre, Arnaud Moncet
Un exemple de goupe d'automorphismes d'une surface K3 réelle

Résumé : Je vous présenterai la construction d'une surface K3 réelle telle que :
1. la partie réelle est une surface de genre 3 (orientable connexe),
2. le groupe des automorphismes est le produit libre de trois involutions et préserve la structure réelle,
3. chaque automorphisme est uniquement déterminé par la classe d'isotopie de sa restriction à la partie réelle de la surface. Autrement dit, le groupe des automorphismes de la surface s'injecte dans le mapping class group de la partie réelle. Ce fait est particulièrement remarquable, car on a ici un "gros" groupe d'automorphismes (il contient un sous-groupe libre à deux générateurs), dont l'image dans le groupe des difféomorphismes de la partie réelle est discrète.
La surface que je vais construire pour aboutir à un tel exemple sera une déformation d'une certaine surface de Kummer singulière, donnée par le produit de deux courbes elliptiques réelles.

Mercredi 26 Novembre, Damian Brotbek
L'invariance des plurigenres par déformation

Résumé : Sur une variété projective complexe X, le m-ième plurigenre est la dimension de l'espace des m-formes canoniques, $P_m(X):=h^0(X,mK_X)$. Siu a démontré que les plurigenres étaient invariants sous déformation de X. En toute généralité la preuve repose sur des méthodes transcendantes, mais dans le cas des variétés de type général il est possible de donner une preuve algébrique. Je vais tenter d'expliquer ces démonstrations et de developper le language des idéaux multiplicateurs qui permet de donner une preuve algébrique dans le cas des variétés de type général. 

Mercredi 3 Décembre, Damian Brotbek
L'invariance des plurigenres par déformation (suite et fin)

Mercredi 17 Décembre, Rodolphe Richard
La conjecture des périodes de Grothendieck

Résumé : La conjecture des périodes de Grothendieck est un énoncé très général sur les variétés algébriques, les nombres transcendants et les valeurs d'intégrales.
Nous introduirons la notion de périodes et présenterons quelques problèmes classiques avant de donner une formulation de l'énoncé général de la conjecture, et d'en présenter quelques conséquences.

Mercredi 14 Janvier, Gaël Cousin
Tout sous-groupe d'un groupe libre est libre

Résumé : On utilise la description d'un groupe libre comme groupe fondamental d'un bouquet de cercles pour connaître la structure de ses sous-groupes. La preuve donne un moyen relativement efficace de calcul d'un système de générateurs pour un sous-groupe donné. Les outils utilisés sont les revêtements et un peu de théorie des graphes. 

Mercredi 4 Février, Gweltaz Chatel
Les conjectures de Weil

Mercredi 11 Février, Gweltaz Chatel
Les conjectures de Weil (suite et fin)

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Année 2007 - 2008

Mercredi 6 Septembre, David Pigeon
Estimations dans le théorème des nombres premiers

Mercredi 3 octobre, Clément Dunand 
Les tores algébriques et leur utilisation en cryptographie 

Mercredi 17 octobre, Slavyana Geninska 
On a geometrical characterization of arithmetic Fuchsian groups 

Mercredi 24 octobre, Viktoria Berlinger 
Un théorème de Bolibruch 

Mercredi 7 novembre, Mathilde Herblot 
Le théorème de Schneider-Lang 

Mercredi 14 novembre, Jean-Romain Heu 
Orbites sous l'action des multiplications par 2 et 3 modulo 1 

Mercredi 21 novembre, Lionel Chaussade 
Nombres univers et nombres normaux 

Mercredi 28 novembre, Jérôme Poineau 
Géométrie analytique p-adique d'après Berkovich 

Mercredi 5 décembre, Richard Leroy 
Polynômes positifs et sommes de carrés 

Mercredi 12 décembre, Richard Leroy 
Simplexes et base de Bernstein multivariée. 

Mercredi 9 janvier, Rodolphe Richard 
Theorie ergodique, espace de reseaux et flots unipotents. 

Mercredi 16 janvier, Rodolphe Richard 
Theorie ergodique, espace de reseaux et flots unipotents. (suite) 

Mercredi 30 janvier, Mònica Manjarin 
Variétés Kählériennes et non-Kählériennes et structures normales de presque contact ou : Comment peut-on faire de la géométrie complexe sur une variété de dimension impaire ? 

Mercredi 6 février, Viviana Delanoy 
Groupes formels et courbes elliptiques 

Mercredi 13 février, Viviana Delanoy 
Groupes formels et courbes elliptiques (suite) 

Mercredi 20 février, Mikaël Roger 
Dynamique symbolique, ou comment coder à l'aide d'un décalage certaines transformations du tore. " Common left-shift again " 

Mercredi 25 mars, Markus Schweighofer 
Peut-on linéariser les systèmes d'inégalités polynomiales ? 

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Année 2006 - 2007

Mercredi 8 Novembre, Guy Casale
Théorie de Galois différentielle

Mercredi 22 Novembre, Jean-Romain Heu 
Un problème d'équirépartition modulo 1 

Mercredi 29 Novembre, Xavier Caruso 
Corps locaux, corps p-adiques, comment ça marche ? 

Mercredi 6 décembre, Guy Casale 
Théorie de Galois différentielle à paramètres 

Mercredi 13 décembre, Xavier Caruso 
Une introduction à la théorie de Hodge p-adique 

Mercredi 24 janvier, Colas Bardavid 
Dualité de Tannaka 

Mercredi 31 janvier, Viviana Delanoy 
Anneaux adiques 

Mercredi 7 février, Viviana Delanoy 
Anneaux adiques (suite) 

Mercredi 14 février, Christophe Mourougane 
Le théorème de Pappus et quelques-uns de ses descendants 

Mercredi 28 février (séance spéciale), Stefan Kebekus 
Rational Curves on algebraic varieties 

Mercredi 7 mars, Christophe Mourougane 
Le théorème de Pappus et quelques-uns de ses descendants (suite) 

Mercredi 21 mars, Jérôme Poineau 
Espace de Berkovich sur Z et théorie du potentiel 

Mercredi 4 avril, Rodolphe Richard 
Conjecture d'Oppenheim et espace de réseaux 

Mercredi 25 avril, Mikaël Roger 
Mélange pour des composées d'automorphismes hyperboliques du tore 

Mercredi 2 mai, Ferrán Valdez 
Une manière projective d'étudier le billard sur un polygone 

Lundi 7 mai (Séance spéciale), Jérôme Poineau 
Théorie de Galois des revêtements topologiques 

Mercredi 9 mai, Corentin Boissy 
Configurations dans des surfaces plates et topologie des strates associées 

Mercredi 16 mai, Viktoria Berlinger 
Surfaces de Riemann avec points de branchement fixés 

Mercredi 6 juin, Jérôme Poineau 
Problème de Galois inverse 

Mercredi 13 juin, Anthony Varrily 
Existence of rational points and Brauer-Manin obstructions 

Vendredi 29 juin, Lionel Chaussade 
Codes theta-cycliques 

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Année 2005 - 2006

Mercredi 14 septembre, Jérôme Poineau
Géométrie analytique à la Cartan

Mercredi 21 septembre, Jérôme Poineau 
Anneaux noethériens de fonctions analytiques

Mercredi 28 septembre, Nicolas Landais 
Sur la notion de périmètre et une première inégalité isopérimétrique

Mercredi 5 octobre, Rodolphe Richard 
Un lemme indien

Mercredi 12 octobre, Christian Naumovic
Espaces de Berkovich : une introduction à la géométrique analytique sur un corps p-adique

Mercredi 19 octobre, Relâche
Rencontres doctorales

Mercredi 26 octobre, Rodolphe Richard 
Equidistribution des points de Hecke pour \(\mathrm{PGL}_2\)

Mercredi 2 novembre, Sylvain Brochard 
Théorie de la déformation

Mercredi 9 novembre, Sylvain Brochard 
Théorie de la déformation (suite)

Mercredi 23 novembre, Corentin Boissy 
Cycles asymptotiques sur une surface de translation

Mercredi 30 novembre, Julie Déserti 
Sur les automorphismes polynomiaux du plan affine

Mercredi 14 décembre, Luc Pirrio 
Intégrales abéliennes

Mercredi 18 janvier, Ferràn Valdez 
Quelques aspects topologiques des feuilletages homogènes sur l'espace affine

Mercredi 1er Février, Daniel Plaumann
Positivity and sums of squares

Mercredi 15 Février, Ferràn Valdez 
Surfaces de translation engendrées par un polygône et feuilletages homogènes de \(\mathbb{C}^2\)

Mercredi 22 Février, Ferràn Valdez 
Surfaces de translation engendrées par un polygône et feuilletages homogènes de \(\mathbb{C}^2\), suite et fin

Mercredi 22 Mars, Valéry Mahé 
Le 17ème problème de Hilbert

Mercredi 29 Mars, Sébastien Gouezel 
Classification des applications uniformement dilatantes

Mercredi 19 Avril, Jean-Romain Heu 
Mesures invariantes pour des actions de \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\)

Mercredi 31 Mai, David Bourqui 
Hauteurs et points rationnels

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Année 2004 - 2005

Mercredi 29 Septembre, Nicolas Landais
Problèmes d'optimisation de formes

Mercredi 6 octobre, Rodolphe Richard 
Théorie ergodique et géométrie

Mercredi 13 octobre, Christian Naumovic 
Pourquoi les schémas (affines) ?

Mercredi 20 octobre, Christian Naumovic 
Pourquoi les schémas ? (suite et fin)

Mercredi 27 octobre, Guillaume Deschamps 
Structures presque complexes et espace de twisteurs

Mercredi 17 novembre, Pierre Bernard 
k-schémas en groupes finis commutatifs

Mercredi 24 novembre, Valéry Mahé 
Jacobiennes de courbes

Mercredi 1er décembre, Valéry Mahé 
Jacobiennes de courbes (suite et fin)

Mercredi 8 décembre, Julie Déserti 
L-feuilletages 

Mercredi 15 décembre, Julie Déserti 
L-feuilletages (suite et fin)

Mercredi 2 février, Ferràn Valdez 
Classification topologique des feuilletages linéaires

Mercredi 9 février, Nicolas Landais 
Problème du tambour de plus basse fréquence

Mercredi 16 février, Corentin Boissy 
Quasimorphismes sur le groupe des difféomorphismes du disque preservant l'aire

Mercredi 27 avril, Julie Déserti 
Une preuve géométrique du théorème de Jung

Mercredi 4 mai, Julie Déserti 
Une preuve géométrique du théorème de Jung (suite)

Mercredi 11 mai, Jérôme Poineau 
Préliminaires de théorie algébrique des nombres

Mercredi 18 mai, Jérôme Poineau 
Théorie d'Arakelov sur un corps de nombres

Mercredi 25 mai, Richard Leroy 
Polynômes positifs, sommes de carrés; passage au quotient modulo le gradient

Mercredi 1er juin, Olivier Le Gal 
Ce qu'un géomètre peut faire avec des patates : une introduction aux problématiques de la géométrie modérée

Mercredi 8 juin, Sylvain Brochard 
Introduction aux champs : exemples de modules universels

Mercredi 15 juin, Sylvain Brochard 
Introduction aux champs (suite) : définition d'un champ 

Mercredi 22 juin, Hélène Christol 
Description de sous-variétés algébriques réelles extrémales 

Mercredi 29 juin, Ferràn Valdez 
Un peu de théorie à la Bendixon-Poincaré

Mercredi 6 juillet, Jean-Romain Heu 
Actions de semi-groupes commutatifs d'endomorphismes du tore

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Année 2003 - 2004

Mercredi 8 octobre,Vincent Le Prince
Les groupes hyperboliques

Mercredi 15 octobre, Damin Ferte 
Géométrie du produit de deux demi-plans de Poincaré

Mercredi 22 octobre, Solen Corvez
Invariants et points d'inflection réels de cubiques 

Mercredi 29 octobre, Luis Tabera
Reparamétrisation de courbes

Mercredi 5 novembre, Pierre Bernard 
Corps non commutatifs et cohomologie des groupes

Mercredi 19 novembre, Christian Naumovic 
Corps des nombres p-adiques et prolongement de la valeur absolue p-adique 

Mercredi 26 novembre, Christian Naumovic 
Prolongement de valeurs absolues et extensions finies de Qp 

Mercredi 3 décembre, Erwan Lanneau 
Flots linéaires sur les surfaces

Mercredi 10 décembre, Damien Ferte 
Exemples d'actions de groupe unipotentes et diagonales sur un espace homogène

Mercredi 7 janvier, Julie Déserti 
Le théorème de préparation de Weierstrass revu par Franck Loray

Mercredi 14 janvier, Gweltaz Chatel 
Sommes exponentielles : méthodes p-adiques

Mercredi 21 janvier, Erwan Brugallé 
Polygône de Newton 

Mercredi 11 février, Pierre Bernard 
Polygône de Newton 2 

Mercredi 10 mars, Olivier Le Gal 
Introduction aux structures o-minimales 

Mercredi 17 mars, Olivier Le Gal 
Introduction aux structures o-minimales 2 

Mercredi 31 mars, Vincent Leprince 
Marche aléatoire sur les groupes hyperboliques 

Mercredi 21 avril, Erwan Brugalle 
Géométrie énumérative réelle 

Mercredi 28 avril, Bert Wiest 
Mapping class group 

Mercredi 5 mai, Bert Wiest 
Mapping class group 2 

Mercredi 12 mai, Christian Naumovic 
Espaces de Berkovich 

Mercredi 19 mai, Christian Naumovic 
Espaces de Berkovich (suite) 

Mercredi 2 juin, Rodolphe Richard 
Théorie ergodique, groupes algébriques et géométrie diophantienne 

Mercredi 9 juin, Amaury Thuillier 
Théorie du potentiel sur les courbes p-adiques

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Année 2002 - 2003

Mercredi 2 octobre, Gwenole Ars

Introduction aux bases de Grobner

Mercredi 9 octobre, Solen Corvez 
Utilisation d'outils de calcul formel dans un probleme de robotique

Mercredi 16 octobre, Guillaume Deschamps 
Espaces Twistoriels

Mercredi 23 octobre, Erwan Brugallé 
Tresses

Mercredi 30 octobre, Pierre Bernard 
Groupes libres

Mercredi 6 novembre, Solenn Corvez
Un algorithme pour determiner la topologie des surfaces algébriques réelles

Mercredi 13 novembre, Damien Ferte 
Introduction a la geometrie symplectique

Mercredi 20 novembre, Damien Ferte 
Introduction à la géométrie symplectique (suite) : le lemme de Darboux

Mercedi 27 novembre, Frédéric Paugam 
Une interprétation modulaire du bord irrationnel de la courbe modulaire

Mercredi 4 décembre, Frederic Paugam 
Une interpretation modulaire du bord irrationnel de la courbe modulaire

Mercredi 11 décembre, Vincent Le Prince 
Flot géodésique sur les surfaces hyperboliques

Mercredi 18 décembre, Lucia Lopez de Medrano (Paris 7)
Courbure des courbes algébriques réelles

Mercredi 8 janvier, Vincent Le Prince 
Non ergodicité du flot geodesique en rang supérieur

Mercredi 15 janvier, Gweltaz Chatel 
Codes correcteurs et géométrie algébrique : les codes de Goppa

Mercredi 22 janvier, Glenn Merlet 
Comment les contractions d'espaces de drapeaux accouchent du théorème d'Oseledec

Mercredi 29 janvier, Amaury Thuillier 
Introduction au calcul de Schubert

Mercredi 5 février, Skander Zannad (Nantes)
Théorie de l'intersection et indices de champs de vecteurs

Mercredi 12 février, Damien Ferte 
Géométrie du plan hyperbolique

Mercredi 19 février, Damien Ferte 
Courbe modulaire et approximation diophantienne

Mercredi 5 mars, Loic Teyssier 
Feuilletages

Mercredi 12 mars, Erwan Brugallé 
Epidémie de pseudoholomorphie chez les courbes algébriques réelles

Mercredi 19 mars, Loic Teyssier 
Holonomie et conjugaison analytique. Le theoreme de Mattei-Moussu

Mercredi 26 mars, Loic Teyssier 
Holonomie et conjugaison analytique. (suite)

Mercredi 2 avril, Vincent Le Prince 
Marches aléatoires et croissance des groupes

Mercredi 23 avril, Pierre Bernard 
Valuations et théorème de Puiseux

Mercredi 7 mai, Amaury Thuillier 
Courbes arithmétiques

Mercredi 14 mai, Amaury Thuillier 
Courbes arithmétiques (2eme partie)

Mercredi 21 mai, Olivier Le Gal 
Structures o-minimales

Mercredi 28 mai, Erwan Brugallé 
Homologie et fibrés vectoriels

Mercredi 4 juin,
Erwan Brugallé,  Homologie et fibrés vectoriels (2ème partie)

Amaury Thuillier, Classes de Chern

Mercredi 18 juin, Frédéric Paugam 
Classes de Chern

Mercredi 25 juin, Frédéric Touzet 
Les classes caractéristiques

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