Archives du séminaire Gaussbusters

  1. 2017-2018
  2. 2016-2017
  3. 2015-2016

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2017-2018

Nathan Noiry (Université Paris Nanterre)
Lundi 4 décembre 2017 à 13h - Salle 006
Spectres de graphes aléatoires et convergence locale

Le spectre d'un graphe aléatoire est l'ensemble des valeurs propres de la matrice d'adjacence associée. Une manière d'encoder le spectre est de considérer la mesure spectrale du graphe, donnant une masse de Dirac à chaque valeur propre. Dans cet exposé, je m'intéresserai au comportement asymptotique de mesures spectrales associées à des suites de graphes (aléatoires) dont la taille tend vers l'infini. J'expliquerai pourquoi ce problème est intimement relié à l'énumération de chemins issus d'un sommet choisi uniformément dans le graphe. Ceci m'amènera à introduire la notion de convergence locale, et à discuter de ses conséquences sur la convergence des mesures spectrales de graphes aléatoires.

Alejandro Rivera (Université Grenoble Alpes)
Lundi 20 novembre 2017 à 13h - Salle 006
Traversée de rectangles pour la percolation de Voronoï : Vincent Tassion face à la dépendance

Le théorème de Russo Seymour-Welsh (RSW) est un résultat essentiel en percolation planaire. Ce théorème, obtenu indépendamment par Russo (1978) et Seymour & Welsh (1978), affirme qu'une configuration de percolation de Bernoulli, disons par arêtes dans le réseau \(\mathbb{Z}^2\), au paramètre critique \(p_c\) (ici \(p_c=1/2\)) traverse les rectangles isométriques à \([0,2R]\times[0,R]\) dans le sens de la longueur avec une probabilité bornée par le dessous uniformément en \(R\). Ce résultat possède une multitude de corollaires dont le fait qu'il n'y a pas de cluster infini à \(p_c=1/2\). Il fait appel à quatre propriétés du modèle : les symétries, l'autodualité, l'inégalité FKG et l'indépendance.
Dans les trente ans qui suivent la démonstration de ce théorème, la théorie de la mécanique statistique évolue beaucoup et on s'intéresse à des modèles qui vérifient les trois premières propriétés. La propriété d'indépendance en revanche, est spécifique à la percolation de Bernoulli et le théorème de RSW ne trouve pas d'équivalent dans la plupart des cas (une exception est le modèle d'Ising (voir Duminil-Copin, Hongler, Nolin 2009) qui possède une propriété de Markov spatiale).
C'est en octobre 2014 que Vincent Tassion met en ligne le préprint Crossing Probabilities for Voronoi Percolation , où par un argument très astucieux il démontre le théorème de RSW dans un cadre très général en essayant d'esquiver le plus possible l'usage de l'indépendance.
Je présenterai le théorème de RSW classique et expliquerai la démonstration de Vincent Tassion.

Adrien Clarenne (Université de Rennes 1)
Lundi 6 novembre 2017 à 13h - Salle 006
Modèles de boules aléatoires

On considère une collection de boules aléatoires dans \(\mathbb R^d\) construites par un processus déterminantal, qui par conséquent induit de la répulsion entre ces boules. Nous étudierons ce modèle à un niveau macroscopique, c'est-à-dire en faisant un dezoom et nous verrons que, comme dans le cas Poissonien, 3 régimes limite apparaissent en fonction de la vitesse de dezoom. Je rappellerai la notion de mesure aléatoire de Poisson et de processus déterminantaux.

Matthieu Dussaule (Université de Nantes)
Lundi 9 octobre 2017 à 12h50 - Salle 006
Marches aléatoires dans les espaces Gromov-hyperboliques

On commencera par introduire les espace hyperboliques au sens de Gromov. On se concentrera sur deux exemples : les variétés différentielles hyperboliques et les arbres.
Après un bref exposé des isométries de ces espaces, on étudiera le comportement asymptotique d'une marche aléatoire lancée dans un espace Gromov-hyperbolique : transience et convergence au bord.

Pierre Perruchaud (Université de Rennes 1)
Lundi 25 septembre 2017 à 13h - Salle 006
Des gaussiennes en dimension infinie : les espaces de Wiener abstraits

Considérons une ronde d'enfants. Chaque enfant tient la main de ses deux voisins, qui l'empêchent de s'éloigner trop. Cependant, les enfants étant turbulents, ils sont soumis à une perturbation aléatoire qui les pousse en avant ou en arrière. Leurs positions sont alors distribuées selon un vecteur gaussien : la variance d'une position est d'autant plus grande que sa turbulence est élevée, et la covariance d'autant plus faible que les bras sont étirables.
L'objectif de cet exposé est d'étudier la question : quel sens donner à la position d'une infinité d'enfants dansant la ronde ? Des rappels sur les vecteurs gaussiens serviront de motivation pour la définition des espaces de Wiener abstraits. On détaillera quelques premiers résultats de la théorie en s'appuyant sur l'exemple fondamental du mouvement brownien. Enfin, on parlera de quelques applications, aux équations aux dérivées partielles stochastiques ou au calcul de Malliavin par exemple.

2016-2017

Jérôme Spielmann (Université d'Angers)
Jeudi 18 mai 2017 à 13h15 - Salle 805 (bibliothèque)
Probabilité de ruine ultime pour des processus de Lévy avec queues légères

La théorie de la ruine étudie le temps de passage en dessous d’un niveau par certains processus stochastiques sensés représenter le capital d’une compagnie d’assurance ou d’un fond de pension. Ainsi, la probabilité de ruine ultime représente la probabilité que ce temps de passage soit fini. Durant ce séminaire, nous allons voir qu’il est possible de classifier la probabilité de ruine ultime pour les processus de Lévy avec queues légères en fonction du comportement de l’exposant de Laplace. Pour illustrer le propos, nous allons appliquer ces résultats au modèle de Cramer-Lundberg perturbé par un mouvement Brownien.

Florian Bouguet (INRIA Nancy Grand Est, Institut Élie Cartan de Lorraine)
Lundi 15 mai 2017 à 13h - Salle 006 (bibliothèque)
Fluctuations de la mesure empirique de chaînes de Markov ralenties

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au comportement en temps long de chaînes de Markov à espace d'états fini qui ralentissent au cours du temps. Plus précisément, on mettra en évidence des théorèmes type LGN et TCL pour la mesure empirique de ces chaînes de Markov. Nous serons amenés à remarquer que, dans certains cas, les fluctuations ne sont pas gaussiennes et ne sont donc pas reliées à un processus diffusif, mais à un processus de Markov déterministe par morceaux appelé "processus zig-zag exponentiel". Travail en collaboration avec Bertrand Cloez.

Pierre Perruchaud (Université de Rennes 1)
Jeudi 6 avril 2017 à 13h - Salle 016
Diffusions à valeurs dans les variétés

Ami probabiliste, ton travail concerne peut-être les diffusions ; en tout cas, tu les as déjà croisées. Mais tu as peur de venir au séminaire Pampers, parce que tu ne sais pas ce qu'est une variété. Détrompe-toi ! C'est l'occasion de venir découvrir les variétés, les revêtements universels et les groupes de Lie expliqués par un probabiliste.
Ami géomètre, ton travail concerne peut-être les variétés ; en tout cas, tu les as déjà croisées. Mais tu as peur de venir au séminaire Gaussbusters , parce que tu ne sais pas ce qu'est une diffusion. Détrompe-toi ! C'est l'occasion de venir découvrir le mouvement brownien, les générateurs infinitésimaux et l'équation de la chaleur expliqués par un géomètre.
Cet exposé se veut accessible au plus grand nombre. Je commencerai par définir le mouvement brownien et les variétés, puis de fil en aiguille, on sera amené à discuter d'équations différentielles stochastiques, de courbure, de récurrence, de géométrie hyperbolique... Le tout dans des termes élémentaires — donc, j'en ai bien peur, hautement non rigoureux.

Florian Lemonnier (Université de Rennes 1)
Lundi 20 mars 2017 à 13h - Salle 006
Introduction aux EDSR et applications

En 1990, Pardoux et Peng parviennent à montrer l'existence et l'unicité des solutions d'EDS rétrogrades, dont le générateur est seulement supposé lipschitzien et l'horizon (temps auquel est donné la condition terminale) fini. Après être revenu sur ce résultat, on s'intéressera aux EDSR à horizon infini ; en particulier, les EDSR ergodiques présentent des applications à la résolution d'EDP (équations de Hamilton-Jacobi-Bellman) et de problèmes de contrôle optimal.

Ninon Fétique (Université de Tours et Université de Rennes 1)
Lundi 6 mars 2017 à 13h - Salle 006
Comportement en temps long de PDMP

La notion de processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP pour "piecewise deterministic Markov processes") a été introduite par Davis afin de distinguer ces processus particuliers des diffusions. Ils permettent de décrire des phénomènes qui évoluent selon une dynamique déterministe pendant un certain temps, puis changent aléatoirement d’état avant de reprendre une évolution déterministe.

Nous nous intéresserons dans l'exposé à l’étude d’une bactérie dont le mouvement est influencé par la présence d’un nutriment dans son environnement, ce mouvement pouvant être modélisé à l’aide d’un PDMP. Le but est d’étudier le comportement en temps long du processus décrivant le mouvement de la bactérie, et de mesurer la vitesse de convergence à l’équilibre, grâce à la méthode de couplage de Meyn et Tweedie.

Tristan Haugomat (Université de Rennes 1)
Lundi 13 février 2017 à 12h50 - Salle 006
Processus de Markov, un point de vue fellerien

Dans le but d'étudier les processus de Markov, la notion de processus de Feller a été mis en évidence par Kolmogorov et Feller. Ils permettent de faire un pont avec l'analyse par les notions de semigroupes et de générateurs. Dans le cas diffusif, la construction de processus de Feller se fait par la résolution d'EDP parabolique linéaire.
Stroock et Varadhan ont introduit la notion de problème de martingale, ce qui leurs a permis d'obtenir sous des hypothèses faibles l'existence de processus de Feller. Dans le cas des diffusions d'Itô il a aussi été montré l'équivalence avec la notion de solution en loi d'EDS.
Après une exposition de la théorie des processus de Feller nous localiserons en espace les notions de propriété de Feller, problème de martingale et topologie de Skorokhod. Nous verrons que ces trois notions sont en quelque sorte équivalente et nous donnerons un résultat fin de convergence.

Ulysse Herbach (Université Claude Bernard Lyon 1)
Lundi 6 février 2017 à 13h - Salle 014
Modèles stochastiques de réseaux de gènes : la fin de l'ère gaussienne ?

L'expression génétique des cellules a longtemps été observable uniquement via des quantités moyennes mesurées sur des populations. L'arrivée récente des techniques « single-cell » permet aujourd'hui d'observer des niveaux d'ARN et de protéines dans des cellules individuelles : il s'avère que même dans une population de génome identique, la variabilité entre les cellules est souvent très forte et diffère clairement de la simple perturbation autour d'une valeur moyenne.
Ce constat semble sonner la fin de l'ère gaussienne, mais offre en même temps l'opportunité d'utiliser une description physique, fondamentalement stochastique, de l'expression des gènes. Mathématiquement, nous verrons comment apparaissent quelques objets probabilistes sympathiques et assez "tendance" : processus de Poisson non homogènes, processus de Markov déterministes par morceaux, champs de Markov cachés...

Alexandre Bordas (ENS Lyon)
Lundi 30 janvier 2017 à 13h - Salle 006
L'équation de la chaleur : un problème probabiliste ?

L'équation de la chaleur \(\partial_tu=\Delta u\), qui décrit la diffusion de la chaleur au cours du temps dans l'espace, pourrait n'être perçu comme un problème des EDP, mais je montrerais qu'elle s'explique par des phénomènes aléatoires.
S'il reste du temps, je parlerais d'un problème où les coefficients de conductions sont eux-mêmes aléatoires -ceci créé une deuxième couche d'aléas- et de la question de l'homogénéisation.

Anne Sophie Giacobbi (LAMFA, Université de Picardie)
Lundi 16 janvier 2017 à 13h - Salle 006
Modélisation dynamique de la régulation de la voie RAS-RAF-MEK-ERK dans les cellules du carcinome hépatocellulaire exposées au sorafénib

La cascade RAS-RAF-MEK-ERK est une des principales voies oncogéniques. Dans le carcinome hépatocellulaire (CHC), qui est la forme la plus fréquente de cancer primitif du foie, la voie RAS-RAF-MEK-ERK est constamment retrouvée activée. Le sorafénib, le médicament de référence et le seul présentant une efficacité prouvée, est un inhibiteur de cette voie. Pour mieux comprendre comment la voie RAS-RAF-MEK-ERK est régulée dans le contexte du ciblage thérapeutique, nous avons utilisé une approche systémique des composants de cette voie dans un panel de cellules de CHC exposées au sorafénib. Nous exposerons tout d’abord un modèle mathématique décrivant la cinétique des composants BRAF, CRAF, MEK et ERK. Les résultats prédictifs de ce modèle sur le ciblage thérapeutique seront présentés. Puis, nous montrerons l’extension de ce modèle à toute la cascade RAS-RAF-MEK-ERK ainsi que les premiers résultats obtenus sur la régulation de cette voie. 

Arnaud Poinas (Université de Rennes 1)
Lundi 12 décembre 2016 à 13h - Salle 006
Propriétés de mélange des variables aléatoires et des processus ponctuels

Depuis sa découverte, le théorème central limite a apporté beaucoup de résultats limites dans des cadres très généraux, notamment en statistique où l'on travaille avec des estimateurs dont la loi nous est inconnue mais dont on peux connaître le comportement limite grâce au TCL.
Malheureusement, les hypothèses du TCL limitent beaucoup son utilisation en pratique, en particulier dans le cadre des processus ponctuels où les données considérées ne sont ni indépendantes, ni de même loi.
Je vais alors présenter les différentes amélioration du TCL qui ont été découvertes au siècle dernier. Je mettrais surtout l'accent sur les propriétés de mélange de variables aléatoires permettant d'affaiblir l'hypothèse d'indépendance du TCL original et de faire des statistiques sur des PPs.

Abdessatar Souissi (IPEST, Carthage University, Tunisia)
Lundi 05 Décembre 2016 à 13h - Salle 006
Markov Fields in Quantum Probability

In 1930-33, A.N. Kolmogorov and J. von Neumann proposed two sets of axioms for the mathematical modeling of random phenomena: The classical(Kolmogorov) probability and the non-commutative or quantum (von Neumann) probability. In the first part of this presentation we will give an analogy between the two probability theories, namely the notion of Markov chain will be investigated in the two frameworks. We will then present some recent developments on the theory of quantum Markov fields , which is from the Kolmogorov's probability viewpoint an extension of the Dobrushin theory of Markov fields to the non-commutative setting and from the quantum viewpoint an extension to graphs of the one dimensional quantum Markov chains.

Hélène Hibon (Université de Rennes 1)
Lundi 21 novembre 2016 à 13h - Salle 006
EDSR Réfléchies en moyenne - Propagation du chaos

Les EDSRs ont non-seulement de forts liens avec les EDPs mais aussi avec les finances via le contrôle stochastique.
C'est d'ailleurs dans ce cadre qu'il apparaît naturel de contraindre les EDSRs.
Le cas où la réfléxion est trajectorielle a commencé à être étudié dès la fin des années 90 par Nicole El Karoui.
Plus récemment, Briand, Ellie et Hu se sont intéressés à une réfléxion en moyenne qui peut trouver justification par extension de certains problèmes de contrôle.
Dans l'idée de permettre de simuler des solutions à de telles équations, on s'interroge sur la propagation du chaos; à savoir si la solution peut être vue comme la limite d'un système de particules dans lequel la réfléxion est trajectorielle.
Existence, unicité et convergence sont donc au programme de l'exposé sur ce qui fait l'objet d'un travail en cours avec mes deux co-directeurs Philippe BRIAND et Ying HU.

Édouard Strickler (Université de Neuchâtel)
Lundi 14 novembre 2016 à 13h - Salle 006
Processus de Markov déterministe par morceaux monotone et sous-linéaire. Application à l’épidémiologie.

Les processus étudiés sont des processus de Markov qui évoluent de manière déterministe entre des temps de sauts aléatoires, et qui changent de trajectoires à ces instants de sauts : ce sont des processus de Markov déterministes par morceaux ou PDMP.
Dans cet exposé, nous considérons une classe particulière de PDMP dans \(\mathbb R^d\), pour lesquels l'orthant positif \(\mathbb R^d_+\) est invariant. Nous supposerons que 0 est un point d'équilibre, et que le processus est monotone et sous-linéaire. Cela signifie que si \(X_t(x)\) représente le processus partant du point \(x\), alors si \(x \leq y\), on a pour tout \(t \geq 0\), \(X_t(x) \leq X_t(y)\) et \( X_t( \lambda x) \leq\lambda X_t(x)\) pour \(\lambda \geq 1\).
Grâce à la théorie des Systèmes Dynamiques Aléatoires, nous allons montrer que le comportement en temps long de ce processus est déterminé par le signe de l'exposant de Lyapunov du système linéarisé \(Y_t\) en 0 qui est donné par la limite de \(\frac1t\log\|Y_t\|\).
Plus précisément, si l'exposant est négatif, le processus converge presque sûrement vers 0; si l'exposant est positif, alors le processus converge vers une unique mesure invariante qui charge l'intérieur de \(\mathbb R^d_+\).
Ces résultats peuvent s'appliquer à des modèles épidémiologiques, comme par exemple le modèle SIS.

Valentin Bahier (Institut mathématiques de Toulouse)
Lundi 24 octobre 2016 à 13h - Salle 006
Spectre de matrices de permutation aléatoires

Les permutations apparaissent naturellement dans de nombreux phénomènes. Leurs structures combinatoires ont été beaucoup étudiées et comprises ces trente dernières années, notamment grâce à l'introduction de concepts probabilistes.
Dans cet exposé nous verrons comment se traduisent leurs structures en cycles en terme de valeurs propres des matrices de permutation associées, puis nous présenterons quelques résultats à propos de la répartition de ces valeurs propres lorsque les permutations sont tirées selon une loi uniforme déformée appelée loi d'Ewens de paramètre \(\theta>0\). Enfin, nous présenterons brièvement les principaux outils déployés permettant d'obtenir ces résultats.

Mac Jugal Nguepedja Nankep (Université de Rennes 1 et ENS Rennes)
Lundi 10 octobre 2016 à 13h - Salle 006
Lois des grands nombres pour les réseaux de régulation de gènes.

Les modèles mathématiques des réseaux de régulation de gènes s'inscrivent dans la grande famille des systèmes de réactions chimiques. Ils peuvent être classés selon divers critères (homogénéité, bruit, vitesse de dynamique). Nous présenterons des comportements assymptotiques (approximation à l'ordre 1) et des liens entre différents modèles, en grandes tailles de population(s).

2015-2016

Valentin Resseguier (INRIA Rennes, Ifremer)
Lundi 20 juin 2016 à 14h - Salle 234 (tour des maths)
Fluid dynamics models based on stochastic flows

Joint work with Étienne Mémin (INRIA) and Bertrand Chapron (Ifremer)
Ensemble forecasting and filtering are widely used in geophysical sciences for numerical weather forecasting and climate projection application. In practice to be efficient these methods require an accurate physical modeling of the dynamical model errors. These errors evolve along time and strongly interact with the large-scale state variables of interest. The generic design of large-scale geophysical models incorporating errors or uncertainty is consequently far from being an easy task. To address this issue, we propose to model the unresolved velocity (the errors or uncertainties) of our fluid dynamics system by a divergence free Gaussian process, correlated in space but uncorrelated in time. Within this simple assumption, the material derivative -- the derivative along the flow trajectory -- of a tracer, has to be modified. Indeed, the Ito-Wentzell formula (also known as generalized Ito formula) is used instead of the chain rule. Compared to a usual transport equation, three new terms appear in this expression: a drift correction, an inhomogeneous and anisotropic diffusion and a multiplicative noise. These three terms are strongly linked together, which ensures desired properties such as energy conservation. With this stochastic version of the transport equation, it is possible to express the fundamental conservation laws of classical mechanics and to derive stochastic versions of a priori any fluid dynamics models. Following this procedure, we have derived and simulated a stochastic version of the Surface Quasi-Geostrophic (SQG) model. We have shown that the realizations of this stochastic version allows us to better resolve the small-scales in comparizon to the usual SQG model. Besides, we have evidenced that an ensemble of realization was able to accurately estimate at each time step the amplitudes and positions of the model errors in both spatial and spectral domains. In comparison a classical randomization of the initial state leads though having a similar error repartition to an underestimation of one order of magnitude. Our ensemble also succeeded to predict density skewness and extreme events of the tracer at small scales. The talk will explicit our stochastic version of the material derivative and comment the numerical results obtained.

Benjamin Groux (Universités de Versailles & Lille 1)
Lundi 13 juin 2016 à 14h - Salle 006 - Séminaire commun Gaussbusters-Landau
Comportement en temps long dans l'équation de Fokker-Planck libre avec un potentiel non-convexe

On considère l'équation de Fokker-Planck libre \(\frac{\partial \mu_t}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[\mu_t \left(\frac{1}{2} V'-H \mu_t\right)\right]\) , où \(H\) désigne la transformée de Hilbert et \(V\) un potentiel confinant. Dans le cas où ce potentiel est convexe, il est connu que cette EDP avec singularité admet une unique solution \(\mu_t\) convergeant quand \(t \rightarrow \infty\) vers la mesure d'équilibre associée au potentiel \(V\). On s'intéresse ici au comportement asymptotique de la solution dans le cas d'un potentiel non convexe, plus précisément \( V(x) = \frac{1}{4} x^4 + \frac{c}{2} x^2\) avec \( c < 0 \). Le résultat obtenu fait intervenir des techniques de probabilités libres et de polynômes orthogonaux. Ce travail a été effectué en collaboration avec Catherine Donati-Martin et Mylène Maïda.

Richard Éon (Université de Rennes 1)
Lundi 6 juin 2016 à 14h - Salle 016
Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les processus de Lévy (avant ma thèse)

Exposé introductif sur les processus de Lévy.

Olga Lopusanschi (Université de Paris 6)
Lundi 9 mai 2016 à 14h - Salle 006
Une construction de l'aire de Lévy avec drift comme limite renormalisée des chaînes de Markov sur graphes périodiques

On connaît des exemples de processus de comportement différent qui, après la même renormalisation à une constante multiplicative près, convergent tous en loi vers le mouvement brownien. Mais est-ce vraiment la même limite ? De fait, dans la topologie uniforme, le passage à la limite « efface » une partie des informations sur la suite des processus qu’on considère, ce qui empêche souvent, par exemple, d’approcher la solution d’une équation différentielle par une suite de solutions d’équations différentielles. Introduite par Terry Lyons dans les années ’90, la théorie de chemins rugueux résout ce problème en « enrichissant » un chemin ordinaire de plusieurs niveaux, en fonction de la régularité \( \alpha \) de celui-ci, pour permettre d’enregistrer toutes les informations pertinentes. Dans le cas particulier où \(\frac{1}{3} < \alpha < \frac{1}{2}\), on ne retient que deux niveaux : les incréments du chemin et l’aire qu’il accumule. C’est au niveau de cette aire que la différence entre les limites de deux processus, invisible dans le cadre de la topologie uniforme, peut apparaître lorsqu’on passe en topologie rugueuse. Notamment, dans le cas de la convergence des trajectoires vers un mouvement brownien, le deuxième niveau du chemin rugueux limite peut contenir, hormis l’aire correspondante (l’aire de Lévy), un drift non nul. Dans le cadre des chemins rugueux, l’aire de Lévy a été surtout étudiée pour son importance dans la convergence des solutions d’équations différentielles (par Lejay et Lyons, par exemple). Mais un certain nombre de questions liées à la convergence de processus se posent également : comment le drift d’air se forme-t-il ? quelle est sa formule explicite ? quelles sont les conditions pour qu’il soit nul ? etc. On essaie de répondre partiellement à ces questions en étudiant différents modèles. Un article de 2008 de Breuillard, Friz et Huesmann montre, en particulier, que l’aire limite n’a pas de drift dans le cas de sommes de variables aléatoires centrées i.i.d. On utilise ce résultat pour aller un peu plus loin et étudier la limite de chaînes de Markov sur les graphes périodiques, et surtout la manière dont le drift d’aire est susceptible de se constituer pour cette classe de processus.

Tristan Haugomat (Université de Rennes 1)
Lundi 21 mars 2016 à 13h - Salle 006
Sur les processus de type Lévy

Nous introduirons la notion de processus de Levy comme généralisation du mouvement brownien. Nous nous intéresserons à leurs interprétations probabilistes, leurs constructions et donnerons quelques exemples. Ensuite nous allons nous poser la question de la localisation en temps et en espace des processus de Levy et voir quelques résultats d'existence et d'unicité.

Aline Marguet (École Polytechnique)
Lundi 14 mars 2016 à 13h - Salle 016
Échantillonnage dans des populations branchantes structurées : comprendre les mécanismes du vieillissement cellulaire.

On s’intéresse à l’évolution d’une population de cellules. Chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (son âge, sa taille, le nombre de parasites, …) qui évolue au cours du temps et qui détermine la dynamique de la cellule (sa durée de vie, son nombre de descendants,…). Lorsqu’on échantillonne un individu uniformément au temps \(t\), on cherche à connaître son trait et l’histoire de son trait le long de sa lignée ancestrale. On présentera dans un premier temps le processus de Markov branchant utilisé pour décrire la population, puis on donnera des résultats asymptotiques sur le processus donné par le trait d’un individu échantillonné uniformément au temps \(t\) lorsque \(t\) tend vers l’infini.

Pierre Monmarché (Université de Neuchâtel)
Lundi 22 février 2016 à 15h - Salle 004-006 - Séminaire commun Gaussbusters-Landau-Pampers
Les valeurs propres sont dans Laplace

Le laplacien, on connaît. Son spectre étend son ombre sur des problèmes d’origines diverses, dont nous ferons un tour d’horizon non exhaustif : géométrie, EDP, optimisation, probabilité… On s’attardera notamment sur son lien avec les notes de musique, ce qui expliquera leur nombre de 12 et le lien profond entre l’analyse harmonique et l’harmonica.

Éric Miqueu (Université de Bretagne Sud)
Lundi 8 février 2016 à 13h - Salle 006
Petites probabilités, moments harmoniques et grandes déviations précises pour un processus de branchement en environnement aléatoire

Un processus de branchement en environnement aléatoire \(\left(Z_n\right)\) est une généralisation du processus de Galton-Watson, où la loi de reproduction des individus est choisie aléatoirement parmi un ensemble de lois et de manière i.i.d. suivant les générations. Dans le cas surcritique où la population a une probabilité non nulle d’explosion, les recherches actuelles se sont focalisées sur les grandes déviations. Deux sujets connexes concernent l’asymptotique des moments harmoniques de \(Z_n\) et l’asymptotique des petites valeurs prises par le processus. L’exposé sera consacré à l’étude de ces deux problèmes ainsi qu’à leur lien avec les grandes déviations.

Florian Bouguet (Université de Rennes 1)
Lundi 18 janvier 2016 à 13h - Salle 006
Autour d'un processus de Markov déterministe par morceaux utilisé en phamacocinétique

Nous nous intéressons à un processus de Markov introduit (dans le monde mathématique) par Bertail, Clémençon et Tressou en 2008, représentant l'évolution dans le corps d'un contaminant chimique présent dans la nourriture. La dynamique de ce processus résulte d'absorptions de contaminant en quantités aléatoires à des instants aléatoires, que le corps essaie d'éliminer. Après avoir présenté des techniques de couplage permettant d'étudier sa vitesse de convergence à l'équilibre dans des distances classiques, nous verrons dans quels autres cadres il est intéressant de considérer ce processus.

Richard Éon (Université de Rennes 1)
Lundi 14 décembre 2015 à 13h - Salle 006
Étude des queues de distributions de mesures invariantes : application à la solution de l'équation de Langevin avec bruit brownien ou alpha-stable

Dans de nombreux problèmes de probabilités, l’obtention de l’ergodicité et de l’existence de mesures invariantes ont bien été étudiés. Néanmoins, pour de nombreuses estimations, connaitre le comportement asymptotique de cette mesure est important. Nous verrons donc d’abord les résultats généraux connus dans le cas brownien. Puis nous verrons ce qui peut s’appliquer dans le cas des processus de Lévy. Enfin, on utilisera ces résultats dans le cadre des équation de Langevin.

Thibaut Mastrolia (Université Paris-Dauphine)
Lundi 30 novembre 2015 à 13h - Salle 006
Régularité de soltuoons d'Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades

Dans cet exposé, nous donnerons des conditions assurant que des solutions d’EDS Rétrogrades admettent des densités par rapport à la mesure de Lebesgue en utilisant le calcul de Malliavin. Nous fournirons également des estimations de ces densités en utilisant la formule de Nourdin-Viens. En analysant plus profondément les conditions nous assurant que nous pouvons dériver au sens de Malliavin les processus solutions d’une EDSR, nous fournirons une nouvelle caractérisation des espaces de Malliavin-Sobolev et nous donnerons une structure interne de ces espaces. Les notions principales de cet exposé (EDSR, calcul de Malliavin) seront rappelées pour la compréhension de tous. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Peter Imkeller, Dylan Possamaï et Anthony Réveillac.

Ronan Lauvergnat (Université de Bretagne Sud)
Lundi 23 novembre 2015 à 13h - Salle 006
Théorèmes limites pour une marche Markovienne conditionnée à rester positive

Conditionner une marche aléatoire permet d’y imposer une exigence particulière. Par exemple il semble naturel de modéliser une population qui survit année après année par une marche aléatoire réelle que l’on conditionne à rester positive. Lorsque les accroissements de la population sont supposés i.i.d., on connaît depuis les travaux de Spitzer (1960) et d’Iglehart (1974), d’une part le comportement asymptotique de la probabilité que la population de survive et d’autre part la loi asymptotique de la population sachant qu’elle a survécu. Après avoir rappelé ces résultats, l’objectif de cet exposé sera de regarder, sur le cas concret de la récursion stochastique, comment adapter les théorèmes lorsque les accroissements ne sont plus considérés i.i.d. mais forment à la place une chaîne de Markov.

Claire Delplancke (Université de Toulouse 3)
Lundi 2 novembre 2015 à 13h - Salle 006
Une approche markovienne du théorème central limite

Le but de nos travaux est de proposer une nouvelle démonstration du théorème central limite pour des variables aléatoires réelles iid, ou de manière plus précise, un théorème à la Berry-Esseen qui mesure la vitesse de convergence dans le TCL pour une certaine distance entre mesures de probabilités. L'originalité de ce travail est de tirer profit de la structure markovienne sous-jacente au cadre du TCL. Nous présenterons une démonstration dans un cas particulier et une conjecture dans le cas général.

Geoffrey Boutard (Université de Lille 1)
Lundi 12 octobre 2015 à 13h - Salle 006
Champs aléatoires stables harmonisables à accroissements stationnaires : comportement trajectoriel et densité spectrale.

Dans cet exposé nous nous proposons de tester une méthodologie par ondelettes dans le cadre de champs aléatoires \(\alpha\)-stables harmonisables \( X = \left\{ X(t), t \in \mathbb{R}^d\right\} \) définis pour tout \( t \in \mathbb{R}^d \) par : \( X(t) = \mathcal{R}e \left\{ \int_{\mathbb{R}^d} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t \cdot \xi}-1\right) f(\xi) \mathrm{d} \widetilde{M_\alpha}(\xi)\right\} \), où \(f\) désigne une fonction arbitraire de l'espace \(\mathrm{L}^\alpha \left(\mathbb{R}^d, 1 \wedge \|\xi\|^\alpha \mathrm{d}\xi\right) \), avec cependant un certain contrôle aux hautes et basses fréquences. Nous établirons des liens entre le comportement local des accroissements de \(X\) (y compris les éventuelles propriétés de différentiabilités ou dérivabilités partielles) et la vitesse de décroissance à l'infini de \(f\). Puis, nous relierons le comportement de \(X\) à l'infini à celui de \(f\) en 0. Nous verrons également que les résultats que nous obtenons sont valables sur un événement de probabilité 1 qui est "universel", dans le sens où il ne dépend pas de \(f\).

Blandine Dubarry (Université de Rennes 1)
Lundi 5 octobre 2015 à 13h - Salle 006
Existence et unicité de mesure invariante pour des IFSs sur [0,1] en rapport avec les VLMCs

Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion de système de fonctions itérées (IFS) probabiliste : c'est quoi ? pourquoi cette notion a-t-elle été introduite ? quand a-t-on une mesure invariante ? C'est principalement sur cette dernière question que l'on s'attardera en regardant les travaux effectués jusqu'à présent et en donnant un critère pour un IFS particulier dans le cas où les probabilités de transition ne nécessitent aucune hypothèse de régularité. On introduira ensuite les notions de chaîne d'ordre infini et de chaîne de Markov de longueur variable (VLMC). On étudiera alors le lien entre l'IFS précédent et ces deux types de processus, ce qui nous permettra d'établir un nouveau critère d'existence et d'unicité de mesure invariante pour ces deux types de processus.

Maxime Tusseau (Université de Rennes 1)
Lundi 14 septembre 2015 à 13h - Salle 004-006 - Séminaire commun Gaussbusters-Landau
Schémas de Splitting pour l'équation de Schrödinger Non-Linéaire (NLS) stochastique

Après avoir introduit les notions d'erreur forte et faible pour les équations différentielles stochastiques, nous verrons comment l'équation de Kolmogorov permet d'obtenir l'ordre de nos schémas. Nous utiliserons cette méthode pour étudier l'erreur faible de deux schémas de splitting sur NLS stochastique. Enfin, nous étudierons un dernier schéma d'une équation de type NLS dont la limite diffusive est une équation NLS stochastique.