Interview : Guy Casale

Guy Casale nous parle de son parcours et de la génèse d'un travail récemment publié dans Annals of Mathematics.

Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?
  1. Anselme et Nicolas au lycée
  2. L’université : une révélation
  3. Une année sabbatique déterminante dans une bibliothèque
  4. Un groupe compagnon associé à une équation différentielle
  5. Une étincelle au CIRM

Anselme et Nicolas au lycée

Les mathématiques, telles qu’ elles m’ont été enseignées dans le secondaire ne m’ont pas beaucoup intéressé. Je me dirigeais plutôt vers la physique. J’allais chercher le savoir dans les livres du CDI de mon lycée. J’y ai découvert deux ouvrages qui m’ont marqué : « le Topologicon » de Jean-Pierre Petit, bande dessinée sur les aventures Riemanniennes d’Anselme Lanturlu, et le Livre 3 de Topologie Générale des Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki dont la première phrase « Le traité prend les mathématiques à leur début […] Sa lecture ne suppose donc aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d’abstraction. » mettait en confiance le lecteur en herbe que j’étais, fort de ses acquis de terminale S spécialité Mathématiques.

L’université : une révélation

Mon arrivée en DEUG à l’université Paul Sabatier de Toulouse fût une révélation. La bibliothèque y était magnifique. Enfin je rencontrais des enseignants réceptifs à mes questions et prêts aux échanges. Je suis arrivé par la porte de la physique mais très vite j’ai compris que c’étaient les mathématiques qui m’intéressaient. Ma lecture même superficielle des premières pages de Bourbaki m’avait en quelque sorte préparé à suivre les cours abstraits dispensés pendant les trois premières années. Mais le manque de dessins dans les cours de topologie et l'absence de cours de géométrie me frustraient : l’approche de Jean-Pierre Petit qui m’avait tant plu, était elle si marginale ?

A la sortie de la maîtrise, j'hésitai entre plusieurs directions mathématiques, topologie ou équations différentielles. Je me suis inscrit à la préparation à l’agrégation... que je n’ai pas préparée, occupé à apprendre d'autres types de mathématiques.

Une année sabbatique déterminante dans une bibliothèque

La cinquième année fût une année façon « Lanturlu », une année de cheminement à poser des questions aux doctorants, aux chercheurs du laboratoire de mathématiques de Toulouse et à consulter des livres dans la bibliothèque. A travers mes lectures je me suis intéressé aux resommations de séries divergentes, qui naturellement me conduisirent vers l’un des grands spécialistes de ce domaine, Jean-Pierre Ramis. L’année suivante, en DEA, je suivis son cours sur ce sujet.
Cette même année, j’assistai à un exposé de Bernard Malgrange venu présenter une généralisation au cas non linéaire de l’approche par la théorie de Galois différentielle des équations différentielles linéaires. Les bases étaient posées mais tout restait à faire. Cet exposé fût déterminant. Sans hésiter, je saisis un sujet de thèse dans cette veine, au carrefour de l’algèbre, de la géométrie et de l’analyse, proposé par Jean-Pierre Ramis et Emmanuel Paul.

Un groupe compagnon associé à une équation différentielle

La théorie de Galois différentielle mesure ce que l’algèbre peut voir de la dynamique. L’idée est de lire à travers un groupe ou un pseudo-groupe associé à une équation différentielle, comme par exemple les équations de Painlevé, des propriétés d’intégrabilité, de résolubilité ou d’irréductibilité de cette équation. Dans le cas d’une équation différentielle ordinaire, si l’on introduit le champ de vecteurs $X$ associé à cette équation sur l’espace des phases $M$, le pseudo-groupe attaché à cette équation peut être interprété comme le pseudo-groupe algébrique des transformations locales holomorphes de $M$ engendré par $X$.
Les applications sont nombreuses. Dans le domaine des systèmes dynamiques, cette approche a permis par exemple de donner des conditions d’obstruction à l’intégrabilité de certains systèmes hamiltonniens portant sur le caractère non commutatif du « groupe de Galois » correspondant.

Une étincelle au CIRM

En 2018 au cours d’une conférence au CIRM j’ai assisté à un exposé d’un chercheur en théorie des modèles, Ronnie Nagloo. Son travail portait sur les fonctions automorphes associées à une famille de groupes fuchsiens en lien avec des équations différentielles de type schwarzien [NDLR : vous êtes perdu(e) ? Jetez un oeil ici et !]. Au cours de son exposé, je réalisai qu’en associant un feuilletage à ces équations différentielles, je pouvais généraliser son travail à une large classe de groupes. Après une nuit de discussion autour d’un tableau dans la bibliothèque du CIRM, je compris que mes arguments ne suffisaient pas mais que j’avais trouvé un collaborateur sur mesure pour développer une nouvelle approche mettant en jeu théorie des corps différentiels, géométrie et algèbre. James Freitag se joignit à nous. Un an plus tard nous démontrions [NDLR : ce travail a été publié dans Annals of Mathematics, une version est librement accessible sur ce lien] un théorème de transcendance pour des fonctions fuchsiennes associées aux groupes de genre 0 et de premier type, et répondions à une question de Painlevé posée en 1895 sur l’irréductibilité des équations différentielles fuchsiennes. Cette collaboration fructueuse se poursuit et a donné lieu notamment deux nouveaux articles (ici et ) avec David Blázquez-Sanz.