Présentation générale

"Géométrie et algèbre effectives'' est une équipe née de la volonté de rendre visible et de développer les nombreux travaux menés à l'IRMAR dans ces thématiques. Elle organise un séminaire les vendredis matins mais participe aussi aux séminaires de cryptographie du vendredi après-midi et de géométrie algébrique le jeudi matin. Elle entretient en outre des liens forts avec l'équipe INRIA EMSEC et la DGA-MI par l'intermédiaire de chercheurs associés à l'IRMAR et présents dans l'équipe. Au niveau enseignement, elle est particulièrement présente dans la spécialité "Mathématiques de l'information, cryptographie" du Master.

L'activité de recherche se fait bien sûr en lien avec celle des autres équipes du pôle "Géométrie" de l'IRMAR. Les points forts de l'activité actuelle sont essentiellement :

L'équipe s'intéresse aux aspects effectifs de l'arithmétique et de la géométrie algébrique.

  • l'algorithmique sur les nombres p-adiques, en particulier les problèmes de stabilité numérique.
  • Les aspects effectifs de l'arithmétique et de la géométrie des variétés abéliennes, des courbes et de leurs espaces de modules.
  • aspects algorithmiques de la géométrie réelle.

Cette thématique est en grande partie structurée autour de l'utilisation de la théorie des polynômes tordus. L'équipe étudie aussi les aspects théoriques des codes utilisés en cryptographie.

La cryptographie est une des motivations principales et un débouché naturel pour la plupart des sujets développés dans les paragraphes précédents, qui peuvent être vus comme autant d'outils pour attaquer les problématiques ci-dessous.

  • renforcement de la sécurité et l'efficacité des protocoles existants. Ceci concerne en particulier les corps finis et les courbes elliptiques (problème du DLP, couplage,...).
  • extension des problématiques précédentes au genre supérieur.
  • exploration d'alternatives à la cryptographie à base de courbes en utilisant les codes.
  • étude des générateurs d'aléa.

L'équipe s'intéresse aux aspects effectifs de la théorie de Galois différentielle.

  • Puisque des équations différentielles linéaires d'ordre 5 et 6 ayant un groupe de Galois donné peuvent à présent être construites, on cherche à étendre les algorithmes de recherche de solutions liouvilliennes  de telles équations différentielles aux ordres supérieurs à 4.
  • On poursuit également le travail sur l'algorithmique des opérateurs et systèmes différentiels en caractéristique p.