Séminaire de Géométrie et Singularités

Notre séminaire a lieu en moyenne une fois par mois, en général en salle 016 ou 004, rez-de chaussée du bâtiment 22, Campus de Beaulieu. Chaque séance comprend en général deux exposés, un le matin et un l'après-midi. Chaque exposé dure 1h20 plus une pause au bout de 40 minutes d'exposé.

 

Année 2016-2017

 

 

Journée Réelle Angers-Brest-Rennes : Jeudi 11 mai 2017 - En salle 16.

Nicolas Dutertre (Marseille) à 11h : Courbures de Lipschitz-Killing et images polaires

 

Résumé : On relie les courbures de Lipschitz-Killing d’un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982). On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

Johannes Huisman (Brest) à 14h : Cohomologie bigraduée de variétés algébriques réelles

 

Résumé : 
Andrés Jaramillo Puentes, (IMJ-PRG, Paris) à 15h30 : Classification à isotopie rigide des courbes rationnelles réelles planes de degré 5

 

Résumé : Le but de l'exposé est d'exprimer la classification à isotopie rigide près des courbes rationnelles réelles de degré 5 en fonction des invariants topologiques des courbes et ainsi que des restrictions algebro-géometriques données par le théorème de Bézout et la formule d'orientation complexe de Rokhlin. La première partie de l'exposé sera dédiée à présenter les dessins associées aux courbes, un outil combinatoire qui permet de classifier les classes d'isotopie rigide. La seconde partie de l'exposé sera dédiée à détailler un exemple intéressant de courbes non rigidement isotopes ayant la même classe d'isotopie.

 

Journées birationnelles : Jeudi 2 Mars et vendredi 3 Mars 2017
Boris Pasquier le 2 mars à 10h30 : 1) Géométrie birationnelle des variétés munies d'une action de groupe. 2) Programme des modèles minimaux pour les variétés horosphériques.

Exposé 1 : Après une introduction intuitive de la géométrie birationnelle, j’expliquerai comment celle-ci peut devenir plus simple sur des variétés munies de l’action d’un groupe connexe. Je définirai ensuite les grandes lignes du programme des modèles minimaux (MMP), en précisant comment démarrer le MMP à partir d'une variété projective; ce qui permettra de motiver l'étude plus poussée du MMP dans le cas de certaines variétés projectives munies de l’action d’un groupe réductif et connexe (dont les variétés toriques).
Exposé 2 : Les variétés horosphériques font partie des variétés évoquées dans le premier exposé. On peut en fait décrire la totalité du MMP d'une variété horosphérique projective, à l'aide d'une famille à un paramètre de polytopes rationnels. Après avoir défini ce qu'est une variété horosphérique et donné quelques propriétés, j'énoncerai le résultat et l'illustrerai avec quelques exemples. Je finirai avec une discussion sur les variantes du MMP qui fonctionnent tout aussi bien dans ce contexte.
Sébastien Boucksom  le 2 mars à 14h : Dégénérescences de variétés de Calabi-Yau

Je vais présenter un travail en commun avec Mattias Jonsson, dans lequel nous étudions une version "mesurée" de la conjecture de Kontsevich-Soibelman. Plus précisément, nous établissons la convergence, en un sens adéquat, de formes volume dans une dégénérescence de variétés complexes vers une mesure de Lebesgue sur un complexe simplicial, qui peut s'interpréter comme un "squelette essentiel" dans un espace de Berkovich.

Benoît Claudon  le 2 mars à 16h15 (en commun avec le séminaire de géométrie analytique) : Le problème de Kodaira pour le groupe fondamental.                                                                                                                                                                          Dans cet exposé, nous montrons que le groupe fondamental d'une variété kählérienne compacte de dimension 3 peut se réaliser comme le groupe fondamental d'une variété projective lisse. Cet énoncé constitue donc un analogue pour le groupe fondamental du célèbre résultat de Kodaira affirmant qu'une surface kählérienne admet des déformations projectives. Il s'agit d'un travail en commun avec Andreas Höring.
Marcello Bernardara  le 3 mars à 9h30 : Mesures motiviques, décompositions semiorthogonales: applications en géométrie birationnelle.

Grâce aux travaux de Bondal, Orlov, Kuznetsov (et autres), on s'attend à ce que les décompositions semiorthogonales de la catégorie dérivée contiennent des informations importantes sur la géométrie birationnelle d'une variété lisse et projective. Par exemple, on peut définir si une catégorie triangulée est représentable en une dimension d donnée et s'attendre à ce que la catégorie dérivée de toute variété rationnelle soit représentable en codimension 2.
En caractéristique zéro, on peut utiliser une mesure motivique définie par Bondal, Larsen et Lunts: on associe à X une classe dans le groupe de Grothendieck des catégories triangulées, où on manipule plus facilement les décompositions semiorthogonales.
Dans cet exposé, j'utiliserai cette mesure pour construire un invariant birationnel "motivique", qui donne une réponse (faible) positive à la question de la représentabilité des variétés rationnelles, ainsi que des indications d'invariants plus subtils dans le cas des fibrations de Mori.  Dans certains cas, on a pu montrer que ces invariants existent (en collaboration avec A.Auel et/ou M.Bolognesi).
De plus, je montrerai comment cette mesure permet de construire une filtration du groupe des automorphismes birationnels d'une variété. Entre autre, cela permet de montrer que le sous-groupe de Bir(P^n) engendré par la transformation standard et PGL est stricte dans le sous-groupe des applications qui contractent des variétés rationnelles (un résultat démontré par Blanc et Hedén en dimension paire).
Jie Liu  le 3 mars à 11h30                                                                                                                       On montre qu'une variété projective dont le faisceau tangent contient un sous-faisceau ample est un espace projectif.

 

Journée singulière : Jeudi 9 Février 2017
Olivier Wittenberg à 10h30 : Sur la conjecture de Hodge entière pour les solides réels

(Travail en commun avec Olivier Benoist.) Nous formulons un analogue de la conjecture de Hodge entière pour les variétés réelles. Celui-ci possède des liens étroits avec des propriétés plus classiques: algébricité de l'homologie du lieu réel, existence d'une courbe réelle de genre pair. Comme dans le cas complexe, la conjecture de Hodge entière réelle peut tomber en défaut mais est plausible pour les 1-cycles sur les variétés dont la géométrie est assez simple. Nous l'établissons pour plusieurs familles de solides uniréglés.
Erwan Brugallé à 14h : Courbes algébriques réelles planes de partie réelle finie

Étant donné un polynôme réel P(x,y) de degré d, l'équation P(x,y)=0 a généralement soit aucune soit une infinité de solutions réelles. Lorsque d est pair, il est cependant possible que cette équation ait un nombre fini non nul de solutions réelles, et un problème naturel est de déterminer le nombre maximal de telles solutions en fonction de d. Ce problème simple se révèle étonnamment difficile et reste ouvert pour $d\ge 10$. Je parlerai dans cet exposé de progrès récents obtenus dans cette direction. Il s'agit d'un travail en commun avec Alex Degtyarev, Ilia Itenberg, et Frédéric Mangolte.

 

 

Conférence Schéma des arcs et singularités à Rennes du 21 au 25 novembre 2016

 

 

Journée sur la construction des différentielles de jets : Mercredi 16 Novembre 2016, salle 16
Lionel Darondeau à 9h30 : Sur l'amplitude du cotangent des intersections complètes

C'est un travail commun avec Damian Brotbek. Nous prouvons que toute variété projective lisse M contient des sous-variétés avec cotangent ample en toute dimension n<=dim(M)/2. Nous construisons de telles variétés comme certaines intersections complètes.
Damian Brotbek à 11h : Sur l'hyperbolicité des hypersurfaces générales

Une variété projective lisse sur le corps des nombres complexes est dite hyperbolique (au sens de Brody) si elle ne contient pas de courbes entières. Kobayashi a conjecturé dans les années 70 que les hypersurfaces générales suffisamment amples de l'espace projectif sont hyperboliques. Cette conjecture n'a été démontrée que récemment par Siu. Le but de cette exposé est d'esquisser une nouvelle preuve de cette conjecture. L'idée principale de la preuve, basée sur la théorie des équations différentielles de jets, est de démontrer qu'une propriété plus forte, ouverte dans la topologie de Zariski, est vérifiée par certaines déformations d'hypersurfaces de type Fermat.

 

 

Journée Réelle Angers-Brest-Rennes : Jeudi 10 novembre 2016
Olivier Benoist (Strasbourg) à 14h : Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré.

 

Résumé : Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est une somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. En 3 variables ou plus, c'est une question ouverte de décider si la borne de Pfister est optimale. Dans cet exposé, on montrera que celle-ci peut être améliorée pour des polynômes de petit degré (au plus 2n-2, et parfois 2n).
Susanna Zimmermann (Bale) à 15h30 :The Cremona group of the real plane

 

Résumé : The Cremona group of the real plane is the group of birational self-maps of the plane defined over the real numbers. I would like to discuss some properties of this large group, such as algebraic subgroups and abelian quotients. 

 

 

Journée Singulière : Mercredi 2 Novembre 2016, salle de la bibliothèque (8ème étage)
Javier Fresán (ETH Zurich) à 10h : Motifs exponentiels

Les périodes exponentielles sont une classe de nombres complexes incluant les valeurs spéciales de la fonction gamma et des fonctions de Bessel, la constante γ d'Euler, ainsi que d'autres nombres intéressants qui ne sont pas censés être des périodes au sens usuel de la géométrie algébrique. Cependant, ils apparaissent comme des coefficients de l'isomorphisme de comparaison entre deux théories cohomologiques associées à des variétés algébriques munies d'une fonction régulière : la cohomologie de de Rham d'une connexion à singularités irrégulières, et une cohomologie dite « à décroissance rapide ». Inspiré par des idées de Kontsevich et Nori, j'expliquerai comment ce point de vue permet de construire une catégorie tannakienne des motifs exponentiels et de produire de groupes de Galois qui contrôlent conjecturalement les relations algébriques entre ces nombres. Quelques résultats classiques de transcendance peuvent se réinterpréter dans ce cadre. Dans la première moitié de l'exposé je ne présupposerai pas de familiarité particulière avec la théorie des motifs et me concentrerai plus sur les exemples que sur les constructions abstraites. Il s'agit d'un travail en commun avec Peter Jossen (ETH Zürich).
Simon Pepin Lehalleur (FU Berlin ) à 14h :  1-motifs constructibles

Un des buts de la théorie des motifs est de produire une interprétation géométrique de la cohomologie des variétés algébriques. Cet objectif se heurte en général à des conjectures difficiles sur lescycles algébriques. On comprend cependant très bien, après Deligne, ce que sont les motifs provenant des variétés de dimension 1; on a une catégorie de 1-motifs de Deligne sur un corps, dont les briques de bases sont les réseaux, tores et variétés abéliennes. Via cette catégorie, il est possible d'interpréter géométriquement la “partie 1-motivique" de la cohomologie d'une variété. La cohomologie des variétés s'insère naturellement dans un contexte plus général de théories de faisceaux (constructibles, l-adiques, ...). En utilisant la construction par Morel et Voevodsky de catégories triangulées de faisceaux motiviques et le formalisme des six opérations développé dans ce contexte par Ayoub, je présenterai une catégorie de 1-motifs constructibles sur une base générale, généralisant les 1-motifs de Deligne sur un corps. Dans la première partie de l'exposé, j'esquisserai les bases de la théorie de Voevodsky et la relation avec les 1-motifs de Deligne sur un corps; dans la seconde, j'expliquerai le formalisme des six opérations et comment l'appliquer pour construire les 1-motifs constructibles.

 

 

Année 2015-2016

 

Mini cours : Jeudi 23 juin 2016
François Boulier à 10h et 14h30 : Algèbre différentielle, idéaux, algorithmes : une introduction.

Ce mini-cours porte sur l'algorithmique de la théorie des idéaux en algèbre différentielle. L'algèbre différentielle est une extension de l'algèbre commutative pour les équations différentielles polynomiales. La théorie des idéaux y joue un rôle central. Toutefois, les outils algorithmiques disponibles en algèbre commutative (bases de Gröbner, chaînes régulières, ...) ne s'adaptent pas tous facilement au cas différentiel. Dans ce mini-cours, je me concentrerai sur la théorie des chaînes différentielles régulières, qui est implantée dans le paquetage DifferentialAlgebra du logiciel de calcul formel MAPLE.
Notes de cours

 

Journée Réelle Angers-Brest-Rennes : Jeudi 12 mai 2016
Karim Johannes Becher (Universitit Antwerpen) à 10h30 : Corps de déploiement d'algèbres simples centrales d'exposant deux

Le Théorème de Merkurjev dit que toute algèbre simple centrale d'exposant deux est Brauer-équivalente à un produit tensoriel d'algèbres de quaternions. Par conséquent, si sur un corps donné toute algèbre de quaternions est une algèbre de matrices, alors le groupe de Brauer est sans 2-torsion.
Récemment, j'ai obtenu une démonstration élémentaire de ce dernier fait.
Dans mon exposé, je tâcherai de motiver le problème, d'expliquer son lien avec des questions ouvertes et d'esquisser la démonstration.
Jean-Philippe Monnier à 14h : Ensembles semi-algébriques et fonctions rationnelles continues.

On étudie les relations entre les fonctions algébriquement constructibles sur une variété algébrique réelle
et les sommes de signes de fonctions rationnelles continues sur cette variété.
On s'intéresse aussi aux ensembles semi-algébriques qui sont le lieu de positivité stricte d'une fonction rationnelle continue.
Frédéric Bihan à 15h30 :

Une généralisation de la règle de Descartes pour les systèmes polynomiaux dont le support est un circuit.

 

La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu une généralisation partielle de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques. Comme pour la règle de Descartes usuelle, notre borne est optimale et s'exprime comme un nombre de changement de signes d'une suite de nombres obtenus en considérant les mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.

 

Journée Singulière : Vendredi 6 Mai 2016, salle 00?
Adam Parusinski à 10h : Equisingularité arc-wise analytique.

Dans un article récent avec Laurentiu Paunescu nous avons montré que toute famille
de singularités, équisingulière au sens de Zariski, peut être trivialisée par une déformation
semi-algébrique, arc-analytique,  et analytique par rapport au paramètre.
 Dans cet exposé, je vais expliquer comment, par une telle déformation, mettre deux cycles
semialgébriques d’une variété singulière projective (réelle ou complexe) en position générale
stratifiée.
Michel Raibaut à 14h :  Cycles proches motiviques relatifs à un ouvert : exemples et applications

Etant donnée une application polynomiale f à coefficients complexes et un point x, Denef-Loeser introduisent en 1998, un motif appelé  fibre de Milnor motivique de f au point x. Ce motif est construit en utilisant l'intégration motivique et il contient les différents invariants additifs/multiplicatifs de la fibration de Milnor de f en x et de sa monodromie comme la fonction zêta de la monodromie ou le spectre de Hodge. En 2005, Bittner et Guibert-Loeser-Merle généralisent cette construction en introduisant un analogue motivique, noté Sf, du foncteur des cycles proches de f. En particulier, pour tout ouvert lisse U de l'espace ambiant, le motif Sf(U) est l'analogue des cycles proches de f relatifs à l'ouvert U. Nous présenterons ces constructions et nous les  appliquerons dans le cas des singularités à l'infini d'une application polynomiale puis dans celui des singularités d'une fraction rationnelle. Dans le premier cas l'espace de départ est considéré comme ouvert d'une compactification, dans le second l'ensemble de définition de la fraction rationnelle est considéré comme ouvert de la fermeture de Zariski de son graphe. On en déduira ainsi des motifs contenant les invariants des différentes fibrations associées à ces contextes.

 

Journée Singulière : Vendredi 18 Mars 2016, salle 006
Arthur Forey à 10h : Densité locale motivique et p-adique uniforme.
Lorenzo Fantini à 14h :  Links non archimédiens des singularités
Daniele Turchetti à 16h :  Ramification des revêtements de courbes de Berkovich et problèmes de relèvement.

 

Journée Singulière : Jeudi 11 Février 2016
Tony Yue Yu à 9h : Compter des courbes dans des surfaces via la géométrie de Berkovich.
Margaret Bilu à 14h : Produit eulérien motivique et formule de Poisson

 

 Jeudi 4 Février 2016 : Journées Louis Antoine sur le 16ème problème de Hilbert

 

Journée Réelle Angers-Brest-Rennes : Jeudi 12 Novembre 2015

 

Yacoub Moine : Jeudi 15 octobre 2015
Déformations μ-constantes et polyèdres de Newton

 

Jean-Baptiste Campessato : Jeudi 24 Septembre 2015
Une formule de convolution pour une fonction zêta motivique réelle

 

 

 

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