Cette thématique est l'un des points d'attache de notre équipe avec celle de Théorie Ergodique.

Anton Zorich (à 50% dans chacune des deux équipes) travaille sur les surfaces plates la géométrie plate,
surfaces à petits carreaux, flots de Teichmüller et était conférencier invité au Congrès International des Mathématiciens de 2006 à Madrid. Avec Howard Masur, ils ont étudié les dégénérescences typiques de différentielles quadratiques (ou surfaces de demi-translation) afin de comprendre notamment les singularités
à l'infini de l'espace des modules associé. En restriction à une strate (définie par la combinatoire de la différentielle), il s'agit de lister les configurations possibles de connexions de selles (par géodésiques).

Dans sa thèse, Corentin Boissy étend leur résultat en  classifiant ces configurations pour chaque composante connexe de strate dès que le genre est supérieur à cinq. Par ailleurs, en collaboration avec Erwan Lanneau (lui aussi ancien élève d'Anton Zorich), ils proposent une généralisation du dictionnaire [surfaces de translation]=[échanges d'intervalles] (outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller) au cadre des surfaces de demi-translation.  L'analogue de l'échange d'intervalles dans ce cadre s'appelle une involution linéaire. Ils relient les propriétés géométriques et dynamiques de ces applications à des critères combinatoires explicites portant sur les permutations généralisées associées.

Serge Cantat et Dominique Cerveau montrent que les sous-groupes d'indice fini du mapping class group d'une surface de genre >2 ne peut agir fidèlement et analytiquement sur une surface de caractéristique d'Euler non nulle.

Françoise Dal'Bo s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure négative. Le contexte est celui du quotient d'une variété riemannienne X simplement connexe, complète, de courbure négative, par un sous-groupe discret G d'isométries. Dans ses travaux, elle décrit, sous certaines hypothèses,  le comportement de deux systèmes dynamiques : le flot géodésique  et le feuilletage horosphérique. La démarche utilisée consiste à traduire les problèmes posés sur G/X en termes d'actions du groupe G sur X et sur son bord. Dans cette reformulation, l'étude de ces systèmes dynamiques est reliée essentiellement à celle de deux objets : le spectre des longueurs de G et une famille de mesures sur le bord  de X, conformes pour l'action de G, dites mesures de Patterson-Sullivan.

Françoise Dal'Bo s'intéresse aussi à des problèmes de croissance de groupes. Lorsque $G$ est un groupe discret d'isométries de X, géométriquement fini, elle s'intéresse au taux de croissance exponentielle du nombre de points d'une orbite de G, noté d(G). Ce nombre s'interprète géométriquement. Par exemple, c'est la dimension de Hausdorff, pour la métrique de Gromov-Bourdon de l'ensemble limite de G. Dans ses travaux elle donne des estimations de d(G) et construit un exemple de réseau non uniforme dont le taux d(G) est strictement inférieur au taux de croissance des boules de X.

Enfin, Françoise Dal'Bo s'intéresse aux intéractions entre systèmes dynamiques et approximations diophantiennes. Plus précisément, on considère des actions  de groupes fermés H sur des espaces homogènes de la forme SL(n,R)/G, où G est un sous-groupe discret de SL(n,R). Elle s'est intéressée au cas où n=2. Lorsque  H est égal au groupe U des matrices triangulaires unipotentes et G est finiment engendré, les orbites de H sont périodiques ou denses dans son ensemble non errant (théorème de Hedlund généralisé). En prenant H égal au groupe A des matrices diagonales, on obtient une action dont certaines orbites sont très irrégulières, par exemple bornées et non périodiques. Si G=SL(2,Z), on établit alors un lien entre les orbites de A et la théorie des approximations diophantiennes, en particulier les ensembles Q(ZxZ), où Q est une forme quadratique binaire.

Mark Baker a démontré avec Daryl Cooper un théorème de combinaison qui donne une méthode très générale de recollement pour construire des n-variétés hyperboliques. Elle permet en outre de construire des variétés géométriquement finies en grandes dimensions, ou encore en dimension 3 des variétés ayant un groupe fondamental librement indécomposable et grand nombre de Betti.

Mark Baker travaille avec Alan Reid sur la classification des noeuds arithmétiques dans les variétés de dimension 3. Dans un article en cours de rédaction, ils démontrent que si M est sphèrique et K un noeud arithmétique dans M dérivé d'une algèbre de quaternions, alors M-K est un revêtement fini de l'orbifold arithmétique H^3/PSL_2(O_3).

Bert Wiest a démontré avec John Crisp que les groupes d'Artin à angles droits se plongent quasi-isométriquement dans des groupes modulaires (dans la plupart des cas même dans des groupes de tresses pures) et dans des groupes de difféomorphismes. Avec Crisp et Godelle il a donné une solution en temps linéaire au problème de conjuguaison dans une classe importante de groupes cubiques CAT(0). Avec Ivan Dynnikov, il a donné une formule pour la métrique de Thurston sur l'espace de Teichmüller en termes de longueurs de mots dans les générateurs du groupe modulaire. Il a aussi établi des liens entre les propriétés dynamiques des tresses et la théorie de Garside. Plus précisément, il a montré un moyen de lire la longueur de Garside d'une tresse à partir de son diagramme de courbes, et il a donné (avec González-Meneses) un algorithme pour détecter la réductibilité d'une tresse, et un autre (avec Matthieu Calvez) qui est spécifique aux tresses à quatre brins, mais qui marche en temps quadratique. Enfin avec Andrés Navas il a démontré que les ordres de type Nielsen-Thurston sur les groupes de tresses ne sont
pas isolés dans l'espace des ordres.

Il s'agit d'une thématique commune avec l'équipe de géométrie algébrique réelle. Le résultat principal obtenu par Jean-Marie Lion (avec Patrick Speissegger) est la démonstration du théorème du complémentaire pour les projections de pfaffiens emboîtés. Ils démontrent par ailleurs un théorème de type Haefliger définissable : ils montrent que si F est un feuilletage associé à un champ d'hyperplans C-infini et définissable dans une structure o-minimale alors il existe un recouvrement fini de la variété par des ouverts définissables dans cette structure o-minimale tels que les feuilles du feuilletage induit sur chaque ouvert séparent l'ouvert en deux composantes connexes. Olivier Le Gal a soutenu sa thèse en 2006 puis est revenu un an sur poste d'ATER en 2008.

En collaboration avec A. Lins Neto et J. Pereira de l'IMPA, D. Cerveau, F. Loray et F. Touzet travaillent sur les feuilletages holomorphes (singuliers) de codimension 1 sur les variétés complexes compactes, notamment autour de la conjecture suivante : un tel feuilletage  est transversalement projectif, ou provient de la dimension 2 (c'est à dire pull-back par une application méromorphe d'un feuilletage de surface). Ils démontrent, sous l'existence d'un champ de vecteur méromorphe non tangent au feuilletage, que le feuilletage est transversalement projectif, ou provient d'un feuilletage sur une variété algébrique (dont la dimension est le degré de transcendance du corps des fonction méromorphes de la variété de départ sur C). Modulo l'hypothèse, on est ramené au cas algébrique. D. Cerveau montre avec A. Lins Neto que tout feuilletage de degré 3 sur CP(3) satisfait la conjecture : transversalement affine ou pull-back de CP(2). Ils établissent par ailleurs un théorème de Frobenius singulier à la Malgrange sur les espaces singuliers. Ce résultat intervient de façon profonde dans la description des hypersurfaces Levi-plates tangentes à un feuilletage holomorphe.

D. Cerveau, J. Déserti, D. Garba Belko et R. Meziani classifient les feuilletages quadratiques avec une seule singularité. Dans sa thèse, Ferrán Valdez établit un dictionnaire entre certains feuilletages homogènes et certains billiard polygonaux ; ceci lui permet de donner une description complète (jusqu'alors inconnue) des surfaces de translation associées à ces billiards.

F. Loray et J. Pereira étudient les feuilletages transversalement projectifs sur les surfaces et obtiennent un théorème de type Riemann-Hilbert (réalisation de monodromie). Dans sa thèse, Gael Cousin utilise ces outils pour classifier les feuilletages transversalement projectifs de bas degré sur CP(2). Motivé par ce contexte, F. Loray étudie les déformations isomonodromiques des connexions de rang 2 sur les courbes. Il considère le cas du tore privé d'un point et démontre que la variation du fibré vectoriel sous-jacent à une telle déformation est solution d'une équation de Painlevé ; ceci généralise un des résultats précédemment obtenus avec Felix Ulmer et M. van der Put. Dans sa thèse, Viktoria Heu construit une déformation isomonodromique verselle pour les connexions de rang 2 sur une courbe quelconque, puis elle démontre que le fibré vectoriel sous-jacent est maximalement stable le long de la déformation. Karamoko Diarra cherche à construire des déformations isomonodromiques explicites.

F. Touzet classifie, en collaboration avec M. Brunella et J.V. Pereira, les variétés complexes k&aulm;hleriennes dont le fibré tangent est décomposable. Il décrit les feuilletages holomorphes de codimension 1 dont la classe canonique est triviale. Actuellement, il s'intéresse aux feuilletages complexes transversalement Riemanniens de codimension quelconque.

Luc Pirio travaille principalement sur l'étude des tissus dans un cadre holomorphe et apporte des réponses substantielles au problème de la caractérisation des tissus de rang maximal (problème décrit par Chern et Griffiths comme étant l'un des plus important en géométrie des tissus). En collaboration avec D. Marin et J.V. Pereira,  il a montré qu'il existe des d-tissus exceptionnels sur le plan projectif quel que soit d>4. Puis avec Pereira, ils ont classé les tissus CDQL exceptionnels sur P^2. Dans un autre travail avec Trépreau, ils montrent qu'à contrario, les tissus de rang maximal de codimension >1 sont "essentiellement" toujours algébrisables. Ils précisent le sens du terme "essentiellement" en montrant (via des exemples explicites) qu'il existe des cas très particuliers où le terme "algébrisable" doit être pris en un sens plus général que le sens habituel. La preuve des résultats avec Trépreau passe par la description quasi-complète d'une classe très spécifique de variétés rationnellement connexes.

Monica Manjarín a passé deux ans dans l'équipe et travaille sur la géométrie de contact et presque complexe. Elle étudie le rapport entre les structures normales de presque contact (NACS) et les variétés complexes possédant des champs vecteurs non triviaux ; elle obtient en particulier une obstruction à être Kählérienne. En collaboration avec M. Nicolau et J.-J. Loeb, M. Manjarín a construit des NACS non-invariants sur les groupes de Lie compacts. En collaboration avec J. Amorós et M. Nicolau, M. Manjarín a étudié les variétés Kählériennes compactes X munies des champs vecteurs sans zéro. Ils ont décrit une classe de déformations et donné des résultats de structure à déformation et recouvrement fini près, et en tirent des conséquences sur la dynamique des champs sur ces variétés.

Guy Casale a donné une démonstration galoisienne de l'irréductibilité de la première équation de Painlevé
(résuscitant l'approche originale de Painlevé/Drach) en utilisant le groupoide de Galois introduit par Malgrange en 2000. Bien que la stratégie développée permettrait d'attaquer l'irréductibilité des autres équations de Painlevé, les calculs semblaient grossir rapidement. Pour la plus grosse famille, Painlevé VI dépendant de 4 paramètres, S. Cantat et F. Loray courcircuitent ces calculs en utilisant la dynamique très riche des feuilletages associés ; ils démontrent ainsi l'irréductibilité de toutes ces équations sauf pour les paramètres de Picard : G. Casale montre que, dans le cas Picard, l'équation n'est pas irréductible.

Dans sa thèse, Julie Déserti établit des résultats nouveaux sur le groupe Cr(2) des transformations birationnelles du plan. Elle déduit en particulier les automorphismes extérieurs de Cr(2), décrit ses sous-groupes nilpotents et répond à une conjecture de type Zimmer sur ce groupe. En collaboration avec D. Cerveau, ils classifient les flots birationnels de degré 2 et proposent une étude détaillée des transformations birationnelles quadratiques, tant d'un point de vue algébrique que dynamique. Monica Manjarín classifie les flots des transformations birationnelles quadratiques de l'espace projectif complexe de dimension 3 : elle prouve que tout flot quadratique en dimension 3 préserve un pinceau de plans passant par une droite. D. Cerveau et J. Déserti montrent que l'on peut construire de façon effective les involutions de type Geiser via les feuilletages quadratiques.


Victor Kleptsyn, arrivé sur un poste de chargé de recherches il y a deux ans, apporte une forte coloration de systèmes dynamiques à l'équipe, ce qui renforce nos liens avec l'équipe de théorie ergodique. Une partie de ses travaux ont été consacrés à la description de comportements asymptotiques dans les systèmes dynamiques déterministes : construction d'un système pour lequel les attracteurs minimal et statistique ne coincident pas, non-convergence de moyennes temporelles des mesures génériques pour l'exemple de Bowen, étude des exposants de Lyapunov, l'effet des attracteurs mélangés. Dans le dernier sujet, il a aussi appliqué la technique d'Ilyashenko, qui permets de travailler "dans le monde non-Fubinien" de feuilletages centraux höldériens.
Puis, il a divers travaux en collaboration sur les feuilletages de codimension un, les actions de groupes et de pseudo-groupes sur le cercle : les travaux avec Deroin et Navas sur la négativité de l'exposant de Lyapunov (et donc une contraction dans la dynamique aléatoire), suite auxquels ils ont avancé dans la direction de preuve de la conjecture d'ergodicité pour telles actions. Avec T. Kutuzova, ils démontrent qu'un feuilletage (topologiquement) générique holomorphe de C^2 est minimal et ergodique. Avec Navas et Deroin, il a généralisé le théorème de Denjoy au cas de l'action de groupe Z^d de classe C^{1+1/d+\epsilon} ;  enfin, ils ont donné une condition suffisante pour qu'une action minimale soit ergodique.